臺灣博碩士論文加值系統

在許多物理系統中,都可以找到可公度結構與不可公度結構.而
Frenkel-Kontorova模型是一種最簡單而可以有效地解釋上述可公度結構
與不可公度結構的模型.本文的目的即在研究 Frenkel-Kontorova (FK)
模型的整體與局部性質,以求對此可公度結構與不可公度結構的更進一步
的了解. 在本文中,我們首先以標準的 FK 模型來介紹 FK 模型各種性
質的定義與我們所使用的計算方法,這包含了系統的基態, FK 模型整體行
為中的相圖,不可公度狀態相變的臨界線與魔鬼樓梯的廣義碎形維度,與
FK 模型局部行為中的不可公度狀態相變臨界點附近的臨界現象及臨界指
數等等. 接下來我們將標準 FK 模型中粒子之間的相互作用型式改為
數種更接近真實系統的能量型式,如 cosh 型的相互作用型式與 Morse 型
的相互作用型式.再以前述的計算方法求出這兩種廣義的 FK 模型的整體
性質與局部性質. 我們發現對於 cosh FK 模型.隨著控制因子的變化,
雖然相圖的形狀沒什麼改變,但臨界線的形狀改變很大.此外由臨界線上的
魔鬼樓梯的結構分析,碎形維度的數值沒有變化,但在廣義碎形維度上卻可
以看出變化.而且最後發生相變的臨界點對應的轉數,不在是黃金分割數,
此臨界點也與標準 FK 模型不同.但 cosh FK 模型的臨界指數仍與標準FK
模型相同. 對於 Morse FK 模型.隨著控制因子的變化,Morse FK 模型
的相圖中的相的種類,將由一種(convex相)轉變為二種(convex相與
nonconvex相並存).相圖中的不不可公度狀態相變現象中的臨界線也逐漸
變形而被nonconvex相遮蓋.但我們發現完整臨界線上的魔鬼樓梯在由
convex FK 模型轉變為nonconvex FK 模型的變化時,形狀卻沒有太大的變
化.所以用來分析魔鬼樓梯的結構的碎形維度與廣義碎形維度等性質,也就
變化不大,碎形維度的值仍與標準FK模型相同,廣義碎形維度上有些變化.
至於此模型的局部行為部分,我們發現雖然臨界點的大小在改變但臨界指
數不變且與標準FK模型相同. 也就是說我們發現這些不同模型在屬於
整體行為的相圖,臨界線與臨界線上的魔鬼樓梯等等性質有著變化,但在屬
於局部行為的不可公度狀態相變現象(Aubry相變)的臨界指數卻不變.代表
Morse FK 模型,cosh FK模型與標準FK模型在不可公度狀態相變現象上為
同一個 universality class.

We have studied two generalized Frenkel-Kontorova (FK)models
with cosh-type and Morse-type interaction. The globalbehaviors
including the phase diagrams, the critical lines, thegeneralized
fractal dimension and the singularity spectrum arecalculated,
and their dependence on the nonlinearity parameteris discussed.
A importance of these two model is that, thecritical exponents
of the gap in the phonon spectrum, thecorrelation length, and
the Peierls-Nabarro barrier are found tobe the same as those
found in the standard and Toda Frenkel-Kontorova models. This
feature shows that these models belongto the same universality
class.