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在這篇論文裡,我們討論史坦-陶斯基方程式的可解性.首先,在第二節,我
們以動力系統的角度去特徵化雙曲線矩陣,並且導出所謂的穩定和不穩定
子空間,進而,更詳細地求出類似三角錐且包含不穩定子空間的不變子集
合.接下來,我們給一個條件去決定一個矩陣是否是雙曲線矩陣.在第三節,
首先我們求得當矩陣A不是雙曲線矩陣,史坦-陶斯基方程式將恆無解.因
此,我們僅須關心雙曲線矩陣.接著,我們求出當矩陣A的特徵值是全部落在
單位圓周外時,史坦-陶斯基方程式有一個唯一負定且共軛對稱的解.最後,
當A的特徵值是有落在單位圓周外與落在單位圓周內時 ,我們分為二種情
況:(第一種情況):如果A沒有互為倒數的特徵值,然後史坦-陶斯基方程式
有一個唯一不定且共軛對稱的解.(第二種情況):如果A有互為倒數的特徵
值,然後史坦-陶斯基方程式將可能無解或有不唯一的解.在第四節,我們觀
察矩陣A與解P它們特徵值之間的對應.在這證明的過程中,我們藉著動力系
統的概念,求得我們宣稱的結果.然後我們能夠結論說:如果史坦-陶斯基方
程式的解P是共軛對稱的話,然後,這矩陣P的正特徵值的數目與負特徵值的
數目和矩陣A的位於單位圓周內的特徵值的數目與位於單位圓周外特徵值
的數目分別相等.且這矩陣P是共軛對稱的條件是必須的.實際上,我們能夠
驗證這矩陣P的正特徵值都大於或等於一.
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