臺灣博碩士論文加值系統

本論文的研究主要工作分成三個部份：

一、以初階邏輯語言，重述歐基里德幾何公設系統（在本論文中特指希爾伯特所建立的公理系統）。為完成此項工作，在第一章中整理、補充並重述了希爾伯特的五組公理系統、定義、定理，同時在第二章中介紹了相關的初階邏輯與模型論的基本概念。

二、透過建立不同的模型來說明各公理間的相容性與獨立性。這些模型大多都是在歐氏幾何中建構，其建構的過程是有趣的，但有些模型在理解上，可能會用到較複雜的數學。

三、透過在歐氏幾何空間中建立非歐幾何的模型的方式，以此重新驗證歐氏幾何的一致性蘊涵非歐幾何的一致性。

The main work of this thesis research is divided into three parts:

1. I restate Euclidean geometry postulate system in first–order logic language. To accomplish this work, I sort out the information including Hilbert's axioms, geometry definitions, and theorems in the first chapter, and I introduce the basic concepts of logic and model theory in chapter 2.

2. Relying on the establishment of different models, we can illustrate the compatibility and the independence between these axioms. Most of these models are constructed in Euclidean geometry, and the construction process of these models is interesting. But some models require more mathematical knowledge to realize their meaning.

3. According to the establishment of non–Euclidean geometry models in Euclidean space, we can show that the consistency of Euclidean geometry implies the consistency of non–Euclidean geometry.

緒論 1
第一章 希爾伯特的幾何基礎 2
第一節 無定義名詞 2
第二節 第一組公理：關聯公理(Axioms of Incidence) 2
第三節 第二組公理：順序公理(Axioms of Order) 9
第四節 第三組公理：全等公理(Axioms of Congruence) 16
第五節 第四組公理：平行公理(Axioms of Parallels) 28
第六節 第五組公理：連續公理(Axioms of Continuity) 31
第二章 初階邏輯幾何模型 34
　　第一節　初階邏輯語言簡介 34
　　第二節　模型論簡介 36
　　第三節　希爾伯特幾何的邏輯模型 38
第三章 一致性與獨立性 43
　　第一節　公理的相容性 43
　　第二節　全等公理的獨立性 46
　　第三節　平行公理的獨立性 51
　　第四節　連續公理的獨立性 54
第四章 歐氏幾何的一致性蘊涵非歐幾何的一致性 56
第一節 非歐幾何的種類 56
第二節 非歐幾何在歐氏幾何中的實現 57
結論 58
附錄一　希爾伯特幾何公理表 59
附錄二　希爾伯特幾何定理表 61
參考書目 67

1. Hilbert, David, Foundations of Geometry, The Open Court Publishing Company (2nd ed., 1971).
2. Enderton, Herbert B. , A Mathematical Introduction to Logic, A Harcourt Science and Technology Company (2nd ed., 1972).
3. 趙文敏，幾何學概論，九章，1992年7月二版。
4. Hodges, Wilfrid, A Shorter Model Theory, Cambridge University Press (1997).