臺灣博碩士論文加值系統

多參數離散分數傅立葉轉換具有許多的自由參數，而這些自由參數可以作為加密的密碼，讓加密系統更加的安全。本論文將使用多種多參數離散分數傅立葉轉換應用於數位影像加密及影像浮水印中。其中將轉換應用於數位影像加密的有兩個主題，分別為非對稱之雙隨機相位影像加密及非對稱之多張數影像加密。非對稱之雙隨機相位影像加密是雙隨機相位影像加密的改良版本，透過在傅立葉轉換域中使用相位截斷來產生新的解密金鑰，讓加密架構具有加密金鑰與解密金鑰為不同金鑰的非對稱性質，能夠大幅提升系統對於明文攻擊的安全性，並且最終的加密圖是白雜訊的實數輸出影像。而非對稱之多張數影像加密利用相位截斷、振幅截斷來達成多影像及非對稱加密的特性，而相位混合讓加密時使用的相位遮罩能夠在解密時必須再被使用一次，大幅增加了破解的難度。上述這兩種數位影像加密法所使用的轉換為傅立葉轉換，本論文將傅立葉轉換變成多參數離散分數傅立葉轉換可以增加金鑰的複雜性，而且不降低相位、振幅金鑰的敏感度。
在數位影像浮水印方面，基於分數傅立葉轉換的隨機相位影像浮水印演算法是將浮水印藏匿於相位中，但實驗結果發現如果將原圖完全裁切還是能夠取出浮水印。所以本論文改將浮水印藏匿於振幅中來改善此現象，並使用多參數離散分數傅立葉應用於浮水印系統中。但是最後發現非法的使用者即使在振幅金鑰不被輸入情況下還是能夠竊取浮水印，所以我們發現此浮水印架構並不安全。最後一個主題為多參數離散分數傅立葉轉換應用於基於雙隨機相位影像加密的多層式數位浮水印，多層式浮水印是將浮水印分割成多個部分，並將各個部分分別送至不同的使用者，只有最高層級的使用者擁有所有的金鑰並解出正確完整的浮水印圖。原論文所使用的轉換為分數傅立葉轉換，而本論中所使用的多參數離散分數傅立葉轉換的自由參數比起分數傅立葉轉換要來的更多。論文中將會透過電腦實驗來驗證多參數離散分數傅立葉轉換除了能更增加自由參數的數量，還能夠提升自由參數的敏感度，並且維持浮水印對於裁切攻擊及胡椒鹽攻擊等影像攻擊的強健性。

Multiple-parameter discrete fractional Fourier transforms have many free parameters and these parameters can be used as encryption keys that make cryptosystems become more secure. In this thesis, several multiple-parameter discrete fractional Fourier transforms are applied in digital image encryption and watermarking. There are two main topics of digital image encryption including asymmetric double random phase encoding and multiple-image encryption with asymmetric cryptosystem. Asymmetric double random phase encoding is the improved version of double random phase encoding which is based on a phase-truncation in Fourier domain that creates a new key during encoding. This cryptosystem has the feature of the different encoding and decoding keys. This asymmetric characteristic makes the cryptosystem secure against the known-plaintext attack and the output of the encrypted image is a real stationary white noise image. The next topic is about the multiple-image encryption with asymmetric cryptosystem. It is based on phase-truncation and amplitude-truncation that make the cryptosystem’s keys asymmetric and can also encrypt multiple images in one time. And the operation of combined-phase makes the random phase keys in encryption must be used during decryption, which improves its security. The employed transform of the two cryptosystems mentioned above is the Fourier transform. This thesis will change that transform to multiple-parameter discrete fractional Fourier transforms that can increase the complexity of keys but also without sacrificing the sensitivity of phase keys and amplitude keys.
As to the digital image watermarking, image watermarking based on fractional Fourier transform and random phase encoding is a method that hides the watermark into the phase. There is a drawback that the watermark still can be retrieved when the host image is fully cropped. To avoid this problem, this thesis tries to embed the watermark into the amplitude domain and employ the multiple-parameter discrete fractional Fourier transforms. But this thesis discovers a safety issue that the illegal user can still extract the watermark even without the amplitude key. The last topic is the hierarchical double random phase encrypted image watermarking using multiple parameters fractional Fourier transforms. The most important feature of the method is to divide the watermark into several pieces and send those segments to different owners. Only the highest class user owns all of the keys for retrieving the correct watermark. The thesis proposes to change the employed transform to multiple-parameter discrete fractional Fourier transforms that not just increase the number of free parameters and higher error sensitivity but also maintain the robustness against image attacks like cropping attack and salt and pepper noise attack.

目錄
摘要 I
Abstract III
致謝 V
目 錄 VI
圖 目 錄 VIII
表 目 錄 XIII
第一章 緒論 1
1.1前言 1
1.2研究動機與目的 2
第二章 多參數離散分數傅立葉轉換 3
2.1離散分數傅立葉轉換 3
2.2多參數離散分數傅立葉轉換 5
2.3 隨機離散分數傅立葉轉換 6
2.4 實數離散分數傅立葉轉換 8
2.4 各種轉換之特性及差異性 10
第三章 非對稱之雙隨機相位影像加密及非對稱之多張數影像加密 17
3.1 數位影像加密 17
3.2 雙隨機相位影像加密 17
3.3 非對稱之雙隨機相位影像加密 19
3.4 非對稱之多張數影像加密 22
第四章 改良型基於多參數離散分數傅立葉轉換的隨機相位影像浮水印及基於雙隨機相位影像加密的多層式數位浮水印 30
4.1 數位影像浮水印 …….30
4.2 改良型基於多參數分數傅立葉轉換的隨機相位影像浮水印.... 30
4.3基於雙隨機影像加密的多層式數位浮水印… .34
第五章 數位影像加密電腦模擬實驗 40
5.1 多參數離散分數傅立葉轉換應用於非對稱之雙隨機影像加密……… ……...40
5.1-1 相位金鑰敏感度測試 …...41
5.1-2 分數參數敏感度測試 …...45
5.1-3 隨機交替矩陣敏感度測試 …...46
5.2 多參數離散分數傅立葉轉換應用於非對稱之多張數影像加密 …...48
5.2-1 振幅金鑰、相位金鑰敏感度測試 …...50
5.2-2 分數參數敏感度測試 …...62
5.2-3 隨機交替矩陣敏感度測試 …...66
5.2-4 裁切攻擊測試 …...69
5.2-5 結論 …...72
第六章 數位影像浮水印電腦模擬實驗 73
6.1 多參數離分數傅立葉轉換應用於改良型基於多參數分數傅立葉轉換的隨機相位影像浮水印 …...73
6.1-1 自由參數敏感度測試 …...74
6.1-2 裁切攻擊測試 …...75
6.1-3 胡椒鹽攻擊 77
6.1-4 JPEG壓縮以及降畫素等影像攻擊 …...78
6.1-5 安全性分析 …...80
6.2 多參數離分數傅立葉轉換應用於基於雙隨機影像加密的多層式浮水印 …...81
6.2-1 裁切及胡椒鹽攻擊 …...85
6.2-2 自由參數敏感度測試 …...88
6.2-3 結論 …...89
第七章 結論與未來研究方向 90
7.1 結論 90
7.2 未來研究方向 90
參考文獻 . 91

















圖目錄
圖2.5-1 原圖 10
圖2.5-2 轉換測試流程圖 10
圖2.5-3 原圖經過DFRFT轉換的轉換圖 11
圖2.5-4 原圖經過MPDFRFT轉換的轉換圖 11
圖2.5-5 原圖經過RDFRFT轉換的轉換圖 12
圖2.5-6 原圖經過real-RDFRFT轉換的轉換圖 12
圖2.5-7 反轉換實驗流程圖 13
圖2.5-8 在MPDFRFT反轉換中，特徵值次方自由參數向量 中1~64以及193~256使用隨機錯誤的自由參數 13
圖2.5-9 在MPDFRFT反轉換中，特徵值自由參數向量 中的65~192使用隨機錯誤的自由參數 14
圖2.5-10 在RDFRFT反轉換中，特徵值自由參數向量 中的1~64以及193~256使用隨機錯誤的自由參數 14
圖2.5-11 在RDFRFT轉換中，特徵值自由參數向量 中的65~192使用隨機錯誤的自由參數 15
圖2.5-12 在real-DFRFT反轉換中，特徵值自由參數向量 中的1~64以及193~256使用隨機錯誤的自由參數 15
圖2.5-13 在real-DFRFT轉換中，特徵值自由參數向量 中的65~192使用隨機錯誤的自由參數 16
圖3.2-1 (a)雙隨機相位影像加密流程圖(b)解密流程圖 18
圖3.3-1 (a) 為非對稱之基於相位截斷的雙隨機相位加密流程圖(b)為解密流程圖 20
圖3.3-2原圖 21
圖3.3-3加密圖 21
圖3.3-4錯誤鑰匙所解出的圖 21
圖3.3-5使用正確金鑰所解出的圖 21
圖3.4-1. 原圖經過隨機相位遮罩和傅立葉轉換之後的PT、AT、CP等運算 22
圖3.4-2雙影像的非對稱影像加密的(a)加密流程圖(b)解密流程圖 24
圖3.4-3 (a) 左至右圖為雙影像的非對稱影像加密的原圖 、 。(b)加密圖 。(c)解密圖。 26




圖3.4-4 (a)非對稱之振幅截斷及相位截斷多張數影像的加密流程圖(b) 非對稱之振幅截斷及相位截斷多張數影像的解密流程圖 27
圖3.4-5 將加密影像增加為三張圖像，(a)為加密圖(b-d)使用正確金鑰所解出的第1~3張的原圖(e)使用錯誤金鑰所解出第1~3的圖(影像大小皆為256×256)。 29
圖4.2-1 (a)崁入浮水印的流程圖(b)解密流程圖 31
圖4.2-2 原圖 32
圖4.2-3 浮水印圖 32
圖4.2-4 經過加密過後得到的圖(振幅 ) 32
圖4.2-5 使用正確金鑰所取出的浮水印圖 33
圖4.2-6 左圖為[18]使用MPDFRFT原圖受到完全的裁切攻擊，而圖右方為取出的浮水印。 33
圖4.2-7 本論文提出的崁入於振幅的實驗結果，左圖為受到使用MPDFRFT完全裁切的原圖，右圖為取出的浮水印 34
圖4.3-1 多層式浮水印架構流程圖 35
圖4.3-2 (a)浮水印(b-e)浮水印分部1~4(f)嵌入浮水印的原圖 37
圖4.3-3 多層式浮水印取出浮水印的流程圖 38
圖4.3-4 (a-d)多層式浮水印演算法所取出的浮水印分部(e) 將取取出的浮水印整合為一張影像 39
圖5.1-1 (a)為非對稱之基於相位截斷的雙隨機相位加密流程圖(b)為解密流程圖 41
圖5.1-2 當相位金鑰P1、P2同時有相同的角度誤差時，所解出解之原圖的MSE值曲線圖。(縱軸為MSE，橫軸為角度誤差) 42
圖5.1-3. 左圖為正確解密所得到的原始圖片。右圖為相位金鑰P1、P2的圖 42
5.1-4. 當相位金鑰P1 (x)、P2 (x)有錯誤的狀況下，所解出之原圖的MSE值(縱軸為MSE值，橫軸為相位金鑰的錯誤率) 43
圖5.1-5. 左圖為正確解密所得到的原始圖片。右圖為相位金鑰P1、P2的金鑰錯誤率來到50百分比時所解出的圖，MSE值為5289.4 44
圖5.1-6. 僅P1有誤差及僅P2有誤差的清況下所解出影像的MSE曲線圖 44
圖5.1-7 左圖為P1誤差為90度的情況下所解出的影像(MSE=3126.52)，右圖為P2誤差為90度的情況下所解出的影像(MSE=6039.12) 45
圖5.1-8. 當次方參數有誤差的情況下所解出原圖的MSE值曲線圖。(橫軸為次方參數a的誤差，縱軸為MSE值) 46
圖5.1-9. 當次方參數有誤差的情況下所解出原圖的MSE值曲線圖。(橫軸為次方參數a的誤差，縱軸為MSE值) 47

圖5.2-1 (a)(b)依序為非對稱之多張數影像加密影像張數為三張的加解密流程圖 48
圖5.2-2 (a)第一張原圖(d)第二張原圖(c)第三張原圖(d)最終加密圖 49
圖5.2-3 (a-e)依序為使用DFT、DFRFT、MPDFRFT、RDFRFT、real-
DFRFT時，振幅、相位金鑰誤差值為10時所解出的第一張影像 50
圖5.2-4各種轉換在振幅及相位金鑰有誤差的情況下所解出第一張影像的MSE曲線圖 51
圖5.2-5 (a-e)依序為使用DFT、DFRFT、MPDFRFT、RDFRFT、real
-DFRFT時，振幅、相位金鑰誤差值為10時所解出的第二張影像圖 52
圖5.2-6各種轉換在振幅及相位金鑰有誤差的情況下所解出第二張影像的誤差MSE曲線圖 52
圖5.2-7 (a-e)依序為使用DFT、DFRFT、MPDFRFT、RDFRFT、real
-DFRFT時，振幅、相位金鑰誤差值為10時所解出的第三張影像圖 53
圖5.2-8各種轉換在振幅及相位金鑰有誤差的情況下所解出第三張影像的誤差MSE曲線圖 54
圖5.2-9 (a-e)依序為使用DFT、DFRFT、MPDFRFT、RDFRFT、real
-DFRFT時，金鑰錯誤率為10%時所解出的第一張影像圖 55
圖5.2-10 (a-e)依序為使用DFT、DFRFT、MPDFRFT、RDFRFT、real
-DFRFT時，金鑰錯誤率為10%時所解出的第二張影像圖 55
圖5.2-11 (a-e)依序為使用DFT、DFRFT、MPDFRFT、RDFRFT、real
-DFRFT時，金鑰錯誤率為10%時所解出的第三張影像圖 56
圖5.2-12 各種轉換在振幅及相位金鑰有誤差的情況下所解出第一張影像的MSE曲線圖(橫軸為誤差率) 57
圖5.2-13 各種轉換在振幅及相位金鑰有誤差的情況下所解出第一張影像的MSE曲線圖(橫軸為誤差率) 57
圖5.2-14 各種轉換在振幅及相位金鑰有誤差的情況下所解出第一張影像的MSE曲線圖(橫軸為誤差率) 58
圖5.2-15 僅振幅金鑰誤差及只有相位金鑰誤差的情況下所解出的第一張影像的MSE曲線圖 59
圖5.2-16 僅振幅金鑰誤差及只有相位金鑰誤差的情況下所解出的第二張影像的MSE曲線圖 59
圖5.2-17 僅振幅金鑰誤差及只有相位金鑰誤差的情況下所解出的第三張影像的MSE曲線圖 60
圖5.2-18 (a-c)左圖依序為振幅金鑰誤差為60的情況下所解出的第一至第三張影像，右圖為相位金鑰誤差為60度的情況下所解出影像 61
圖5.2-19DFRFT、MPDFRFT及RDFRFT等轉換在分數參數有誤差的情況下所解出第一張影像的MSE曲線圖 62
圖5.2-20 (a-c) 依序為DFRFT、MPDFRFT及RDFRFT等轉換在分數參數的誤差值為0.002的情況下所解出的第二張影像 63
圖5.2-21 DFRFT、MPDFRFT及RDFRFT等轉換在分數參數有誤差的情況下所解出第二張影像的MSE曲線圖 64
圖5.2-22 DFRFT、MPDFRFT及RDFRFT等轉換在分數參數有誤差的情況下所解出第三張影像的MSE曲線圖 64
圖5.2-23 (a-c) 依序為DFRFT、MPDFRFT及RDFRFT等轉換在分數參數的誤差值為0.002的情況下所解出的第二張影像 65
圖5.2-24 (a-c) 依序為DFRFT、MPDFRFT及RDFRFT等轉換在分數參數的誤差值為0.002的情況下所解出的第三張影像 66
圖5.2-25 隨機交替矩陣有誤差的情況下所解出第一張影像的MSE值曲線圖 67
圖5.2-26 隨機交替矩陣有誤差的情況下所解出第二張影像的MSE值曲線圖 67
圖5.2-27 隨機交替矩陣有誤差的情況下所解出第三張影像的MSE值曲線圖 68
圖5.2-28 (a-b)依序為RDFRFT及real-DFRFT等轉換在隨機交替的誤差值為0.002的情況下所解出的第一張影像 68
圖5.2-29 (a-b) 依序為RDFRFT及real-DFRFT等轉換在隨機交替的誤差值為0.002的情況下所解出的第二張影像 69
圖5.2-30 (a-b) 依序為RDFRFT及real-DFRFT等轉換在隨機交替的誤差值為0.002的情況下所解出的第三張影像 69
圖5.2-31 (a)經過裁切攻擊大小64×64的最終加密圖 (b-d)依序為使用MPDFRFT在加密影像經過裁切的情況下所解出的第一至第三張影像 70
圖5.2-32不同轉換並在加密圖經過不同裁切大小所解出第一張影像的MSE曲線圖 71
圖5.2-33不同轉換並在加密圖經過不同裁切大小所解出第二張影像的MSE曲線圖 71
圖5.2-34不同轉換並在加密圖經過不同裁切大小所解出第三張影像的MSE曲線圖 72
圖6.1-1 (a)崁入浮水印的流程圖(b)解密流程圖 73
圖6.1-2. 基於DFRFT、MPDFRFT、RDFRFT的次方參數有誤差時所得出浮水印的MSE值 74
圖6.1-3. 基於RDFRFT、real-DFRFT的隨機交替矩陣有誤差值所取出浮水印的MSE值 75
圖6.1-4. (a)為本論文原圖遭受大小128x128的裁切攻擊，PSNR值為13.58dB(b)為取出之浮水印，MSE值為1334.84 76

圖6.1-5 (a)[4]原圖遭受裁切攻擊取出浮水印的實驗結果，(b)本論原圖遭受裁切攻擊取出浮水文裁切攻擊實驗結果。橫軸為裁切的尺寸大小，縱軸為MSE值 77
圖6.1-6 (a)為原圖遭受密度為0.3的胡椒鹽攻擊，PSNR值為11.01dB(b)為取出之浮水印，MSE值為2573.12 78
圖6.1-7 各種衍伸型分數傅立葉轉換對於胡椒鹽攻擊之取出浮水印的MSE曲線圖 78
圖6.1-8 (a)為原圖經過JPEG壓縮至25%，PSNR值為28.874dB(b)為取出之浮水印圖，MSE值為42.067 79
圖6.1-9 (a)為原圖降畫素降至32x32，PSNR值為14.62dB(b)為取出之浮水印圖，MSE值為1091.3 79
圖6.1-10 振幅金鑰A沒有被輸入時的情況下所取出的浮水印 81
圖6.2-1 多層式浮水印架構流程圖 82
圖6.2-2 (a)浮水印測試圖(b)原圖 83
圖6.2-3 (a-d)四個浮水印分部 83
圖6.2-4 使用MPDFRFT藏入水印的原圖(MSE= 0.00033) 84
圖6.2-5 (a-d)依序為使用DFRFT、MPDFRFT、RDFRFT、real-DFRFT所取出的浮水印(CORR=0.704, 0.705, 0.702, 0.702) 84
圖6.2-6 (a)使用MPDFRFT藏入浮水印的原圖遭受64×64大小裁切攻擊(b)取出的浮水印(CORR=0.605) 85
圖6.2-7 使用不同轉換藏入浮水印的原圖遭受不同大小的裁切攻擊後的所取出的浮水印自相關係數的曲線圖 86
圖6.2-8 (a)使用MPDFRFT藏入浮水印的原圖遭受密度0.3的胡椒鹽攻擊(b)取出的浮水印(CORR=0.470) 87
圖6.2-9 使用不同轉換藏入浮水印的原圖遭受不同密度的胡椒鹽攻擊後的所取出的浮水印自相關係數的曲線圖 87
圖6.2-10 使用DFRFT、MPDFRFT、RDFRFT的次方參數有誤差時所取出浮水印的CORR值 88
圖6.2-11. 使用RDFRFT、real-DFRFT的隨機交替有誤差時所取出浮水印的CORR值 89








表目錄
表2.5-1 各種轉換之參數數量 9
表6.1-1原圖鏡過JPEG壓縮至25%所取出的浮水印MSE值 80
表6.1-2原圖畫素降至不同大小情況下所提出浮水印的MSE值 80

參考文獻
[1]P. Refregier and B. Javidi, “Optical image encryption based on input plane and Fourier plane random encoding,” Optics Letters, vol. 20, no. 7, pp. 767, 1995.
[2]Rivest, A. Shamir and L. Adleman, “A method for obtaining digital signatures and public-key cryptosystems,” Communications of the ACM, vol. 21, no. 2, pp. 120-126, 1978.
[3]X. Peng, P. Zhang, H. Wei and B. Yu, “Known-plaintext attack on optical encryption based on double random phase keys,” Optics Letters, vol. 31, no. 8, pp. 1044-1046, 2006.
[4]G. Yang, B. Dong, B. Gu, J. Zhuang and O. Ersoy, “Gerchberg–Saxton and Yang–Gu algorithms for phase retrieval in a nonunitary transform system: a comparison,” Applied Optics, vol. 33, no. 2, pp. 209-218, 1994.
[5]楊國楨、顧本源，“光學系統中振幅和相位的恢復問題”，ACTA PHYSICA SINICA，第30卷，第3期，March，1981
[6]W. Liu, Z. Liu and S. Liu, “Asymmetric cryptosystem using random binary phase modulation based on mixture retrieval type of Yang–Gu algorithm,” Optics Letters, vol. 38, no. 10, pp. 1651-1653,2013.
[7]S. Rajput and N. Nishchal, “Fresnel domain nonlinear optical image encryption scheme based on Gerchberg–Saxton phase-retrieval algorithm,” Applied Optics, vol. 53, no. 3, pp. 418-425, 2014.
[8]Wan Qin and Xiang Peng, “Asymmetric cryptosystem based on phase-truncated Fourier transforms,” Optics Letters, vol. 35, no. 2, pp. 118-120, 2010.

[9]W. Qin, “Universal and special keys based on phase-truncated Fourier transform,” Optical Engineering, vol. 50, no. 8, 080501, 2011.
[10]W. Liu, Z. Xie, Z. Liu, Y. Zhang and S. Liu, “Multiple-image encryption based on optical asymmetric key cryptosystem,” Optics Communications, vol. 335, pp. 205-211, 2015.
[11]X. Deng and D. Zhao, “Multiple-image encryption using phase retrieve algorithm and intermodulation in Fourier domain,” Optics & Laser Technology, vol. 44, no. 2, pp. 374-377, 2012.
[12]G. Situ and J. Zhang, “Multiple-image encryption by wavelength multiplexing,” Optics Letters, vol. 30, no. 11, pp. 1306-1308, 2005.
[13]X. Wang and D. Zhao, “Multiple-image encryption based on nonlinear amplitude-truncation and phase-truncation in Fourier domain,” Optics Communications, vol. 284, no. 1, pp. 148-152, 2011.
[14]M. J. Shensa, “The discrete wavelet transform: wedding the a trous and Mallat algorithms,” IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 40, no. 10, pp. 2464-2482, 1992.
[15]C. T. Hsu and J. L. Wu, “DCT-Based Watermarking for Video,” IEEE Trans. on Consumer Electronics, vol. 44, no. 1, pp. 206-216, Feb. 1998.
[16]R. G. van Schyndel, A. Z. Tirkel, C. F. Osbome, “A Digital Watermark,” in Proc ICIP94, IEEE Int. Conf. Image Processing, vol. 2, pp. 86-90, 1994.
[17]Q. Guo, Z. Liu, and S. Liucora, “Image watermarking algorithm based on fractional Fourier transform and random phase encoding,” Optics Communications, vol. 284, pp. 3918–3923, 2011.

[18]W. T. Chiu, Y. Tai, and W. L. Hsue, “Image watermarking based on discrete fractional Fourier transforms with multiple parameters,” in Proc. 13th International Conference on Natural Computation, Fuzzy Systems and Knowledge Discovery (ICNC-FSKD 2017), pp. 2672-2678, Guilin, China, July 2017.
[19]N. K. Nishchal, “Hierarchical encrypted image watermarking using fractional Fourier domain random phase encoding,” Optical Engineering, vol. 50, no. 9, 097003, Sep. 2011.
[20]L. Almeida, “The fractional Fourier transform and time-frequency representations,” IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 42, no. 11, pp. 3084-3091, 1994.
[21]S. C. Pei and M. H. Yeh, “Improved discrete fractional Fourier transform,” Opt. Lett., vol. 22, pp. 1047–1049, 1997.
[22]B. W. Dickinson and K. Steiglitz, “Eigenvectors and functions of the discrete Fourier transform,” IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process ASSP-30, pp. 25-31, Feb. 1982.
[23]S. C. Pei and W. L. Hsue, “The multiple-parameter discrete fractional Fourier transform,” IEEE Signal Processing Letters, vol. 13, no. 6, pp. 329–332, June 2006.
[24]S. C. Pei and W. L. Hsue, “Random discrete fractional Fourier transform,” IEEE Signal Processing Letters, vol. 16, no. 12, pp. 1015–1018, Dec. 2009.
[25]S. C. Pei, J. J. Ding, W. L. Hsue, and K. W. Chang, “Generalized commuting matrices and their eigenvectors for DFTs, offset DFTs, and other periodic operations,” IEEE Trans. Signal Process., vol. 56, no.9, pp. 3891–3904, Aug. 2008.
[26]W. L. Hsue and W. C. Chang, “Real discrete fractional Fourier, Hartley, generalized Fourier and generalized Hartley transforms with many parameters,” IEEE Trans. on Circuits and Systems I: Regular Papers, vol. 62, no. 10, 2594 - 2605. Oct. 2015.
[27]J. Lang and Z. Zhang, “Blind digital watermarking method in the fractional Fourier transform domain,” Optics and Lasers in Engineering, vol. 53, pp. 112-121, 2014.
[28]Z. Shao, Y. Duan, G. Coatrieux, J. Wu, J. Meng and H. Shu, “Combining double random phase encoding for color image watermarking in quaternion gyrator domain, ” Optics Communications, vol. 343, pp. 56-65, 2015.
[29]S. Liu, B. Hennelly and J. Sheridan, “Digital image watermarking spread-space spread-spectrum technique based on Double Random Phase Encoding,” Optics Communications, vol. 300, pp. 162-177, 2013.