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研究生:林長壽
研究生(外文):Lin, Zhang-Shou
論文名稱:奇異積分與橢圓型算子指標數
指導教授:楊維哲楊維哲引用關係
指導教授(外文):Yang, Wei-Zhe
學位類別:碩士
校院名稱:國立臺灣大學
系所名稱:數學研究所
學門:數學及統計學門
學類:數學學類
論文種類:學術論文
畢業學年度:64
語文別:中文
中文關鍵詞:數學統計
外文關鍵詞:MATHEMATICSSTATISTICS
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奇異積分算子與橢圓型算子的指標數理簡介:H1 i=1,2為二個希氏空間T:
H1→H2是有界算子,如果T的值域為H2的閉子空間,且ker T 及 coker T均
為有限維空間時,稱T為Fredhole型算子。而ind(T)=dim ker T-dim coker
T稱為T的指標數。
ind T 有下列性質:
1.T1,T2為Fredholm算子,則T1OT2也是Fredholm算子,ind T1OT2=ind
T1+ind T2
2.K為緊緻算子,則T+K也是Fredholm算子,indT+K=ind T
3.T為Fredholm算子,則存在ε>0,使得∥T'-T∥<ε時,T'必為Fredholm
算子,且ind T'=ind T
最後這個性質稱為指標數的穩定性。
這種算子在偏微分方程中的橢圓型邊界值問題中出現:
設D是Rn中的一個區域,f,gj是分別定在D,ΘD上的圓滑函數,問何時
A(x,D)u(x)= f(x) x e D
Bj(x',D)u(x')=gj(x') x' e ΘD j=1,2,......,n.
有一個解 u存在。其中 A,Bj 為微分算子。通常都把(A,Bj)看成一些適當空
間的Fredholm的算子,然後計算它的指標數。由於指標數的穩定性,Gelfand在1960
年提出:微分算子的指標數能否用一些位相不變量來表示。1963,1964 Atiyah,Bott,
Singer 依據 Colderom-zygmond, Seeley, Kohn-Nirenberg, Hormander 等人所發
展的奇異積分變子或更一般的擬微分算子理論,分別提出在沒有邊界或有邊界的緊
緻流形上橢圓型指標數的位相結果。他們詳細的說明,在Palais的Seminar 中可找
到。本文主要說明 Atiyah-Singer定理的第二種證明方法。這個方法主要在說明指
標數的計算和 Bott 的週期性定理的關係。
本文要求讀者要有K-理論一般的知識。例如Atiyah的書,又分析方面可參考
Palais的書或Seeley 的文章。
本文分三章,§1.簡單地說明K-理論的一些語言及符號。§2.說明橢圓型算
子的分析方面的結果,以及定義K(TM)的解析指標數,其中證明了移殖定理
(excision or transplanting theorem) ,乘法定理,以及一些基本橢圓型算子的
指標數的計算,§3.主要就利用§2.5.用餘調形式來表示算子的指標數,定理 3.1
是主要定理。

QRCODE
 
 
 
 
 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
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