在1989年, Bojanic 和Cheng 研究了DBV[0,1]這類函數的Bernstein 多項式的漸近行
為 (參見[3]). 本篇論文進而考慮更一般性的正線性算子Ln, 並且估計Ln(f) 收斂到
f 的速度, 其中fεDBV[a,b] , 且f 可以表示成f(x)=f(a)+ (t)dt,xε[a,b],
εBV[a,b]。
我們以 的變差和來估計出Ln(fx)收斂到f(x)的速度, 並且有以下結果:
Ln(f,x)-Φ(x+)-Φ(x-)/2Ln(|t-x|,x)-Φ(x+)+Φ(x-)/2L (t-x,x)|
≦b-a/n /β x+b-x/n /β/X-x-a/n /β(Φ )+C(x)C (x)/(β-1)n [n (β-1) /β
]Σ x+/b-x/k/β-1(Φ )X-/x-a/k /β-1
=O(n ),
或Ln(f,x)=f(x)+O(n ),
其中β, ν滿足Ln(|t-x| , x)≦C(x)n , xε(a,b).
從而, 我們將其結果實地用來推估一些算子, 如Bernstein 算子, Kantorovitch 算
子, Bernstein-Durrmeyer 算子及下面定義的算子等等和收斂速度.
若定義算子Q 為
Qn(f,x)=n/2 |u|＜1/n (x+u)du, |x|＜1-1/n
f(x), 1-1/n≦|x|≦1,
則對任意的xε(-1,1) , 當n＞1/1-|x|時, 我們有
|Qn(f,x)-f(x)-(Φ(x+)-Φ(x-))1/4n|
≦7-6|x|/3n (1-|x|) Σ x+1-x/k (Φ )x-1+x/K
O(1/n).