1941年, Yosida〔8〕 證明了冪有界算子 (Power bounded operator) T 均勻遍歷 (
uniformly ergodic)時跟它的譜性質所發生的關係, 1974年, Lin〔6〕相繼提出了算
子T 是均勻遍歷的充要條件 (與R (T-I) 之關系) . 本文的主要目的除了將算子T 是
均勻遍歷時的等價條件歸納整理外, 并將進一步推廣, 其敘述如下 (見定理3.4): 對
算子T , 下列敘述是等價的: (1)T是均勻遍歷的. (2)n ∥T ∥→O, 且R (T-1) 閉集
合. (3)n ∥T ∥→O且R(T-I) 是閉集合. (4)n∥T ∥→O,且X=N(T-1)⊕R(T-1), 而
R(T-1)是閉集合. (5)n ∥T∥→O , 且l 是R (λ, T) 之一階極點或1 ρ(T).
同時我們也將在定理3.5 中討論T 是均勻算子收斂 (unifonn operator convergence
) 的等價條件.
另外, 1984年, Shaw〔7〕 探討了余弦序列 (cosine sequence){C }的均勻遍歷性問
題, 我們在定理4.2 (5) 中將進一步討論其均勻遍歷性跟C 的譜性質之關係. 同樣地
, 我們也將在定理4.3 中把{C }均勻遍歷的條件加以限制, 以討論它的均勻算子收斂
問題.
其中定理4.2 敘述如下: 對余弦序列{C }, 下列敘述是等價的: (1){C } 是均勻遍歷
的. (2)n ∥C ∥→O( 或n∥C -C ∥→ O), 且R(C -I) 是閉集合(3)n ∥C -C ∥→
O, 且R((C -I) ) 是閉集合(4)n ∥C -C ∥→O, 且X=N(C -I)⊕R(C-I),而R(C
-I) 是閉集合(5)n∥C -C ∥→O , 且1 是R(λ, C ) 之一階極點或1 (C )。 比較
定理34及4.2 發現兩者幾乎是一樣的, 所不同只是T 與C 的變換, 且其證明也極相似
。