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研究生:吳水利
研究生(外文):WU, SHUI-LI
論文名稱:二階橢圓型偏微分方程式解的不存在性之研究
論文名稱(外文):On nonexistence of second order elliptic partial differentail equations
指導教授:蔡隆義
指導教授(外文):CAI, LONG-YI
學位類別:碩士
校院名稱:國立政治大學
系所名稱:應用數學研究所
學門:數學及統計學門
學類:數學學類
論文種類:學術論文
論文出版年:1992
畢業學年度:80
語文別:英文
論文頁數:95
中文關鍵詞:不存在性正放射性解微分方程式
外文關鍵詞:NONEXISTENCEPARTIAL-DIFFERENTAIL-EQUATION
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本文主要在考慮某類二階橢圓型偏微分方程式解的不存在問題,共分為三部分。
在第一部分中,首先利用均值函數之方法(此法曾見於〔N〕及〔C〕等多篇文獻
)來研究如下之二階積分-微分方程式,

(0.1) △u = K(x)h(u)+H(│x│)│ a(│y│)q(u(y))dy
╯R
,x R,n > 2 ,在此

(1) △表示n維的拉氏(Laplace) 運算子。
(2) K(.),H(.) 及 a(.) 是局部赫德 (Holder) 連續的非負函數。

σ δ
(3) h(.) 及 q(.) 滿足適當的條件,如 〞h(u) = u 及q(u)=u ”

δu σu
或 ”h(u)=e 及 q(u)=e ” 。

當 H(.)≡0 時,鄭國順教授及林震燦教授〔C〕,已証明當γ足夠大時,若存在
某一正常數C,使得
__ C
K(γ) > ──
▔ γ
__
(在此K表示函數K之均值函數),則方程式(0.1) 在R中不存在任何正〔有界
〕的解。
令我們感興趣的是當 H(.)≡0 時,在那些條件下會有類似的結果發生。本文證明
,當γ足夠大時,若存在某正常數C使得

__ ╭ ∞ n-1 C
K(γ) + H(γ) │ a(ρ)ρ dρ > ───
╯γ ▔ γ'

則可經由詹森氏(Jensen's)不等式及赫德不等式,利用反證法去得到類似的結果。
在第二部份中,將研究下列之擬線性微分方程式解的不存在問題,

(0.2) .[g(│ u│) u]=K(│x│)h(u)+H(│x│)│ a(│y│)
╯R


q(u(y))dy, x R,n > 2 ,在此

(1) u 表示u的梯度。
__
(2) g:R ──→R 屬於 C〔0,p〕∩C(0,p),p 為區間〔0,∞〕
 
中之某一常數。
(3) (pg(p))'>0 對所有的p (0,p)。
(4) K(.),H(.) 及a(.) 均為局部赫德 (Holder)-連續的非負函數。

σ δ
(5) h(.)及 g(.) 滿足適當的條件,如”h(u)=u 及 q(u)=u 〞 或〞h(u)=

σu δu
e 及 q(u)=e ”。

首先定義函數ψ如下
ψ=pg(│p│) p R.
若ψ的反函數存在,則可經由赫德不等式推導出一積分不等式,接著可利用此不等
式經由反證法得到下列的結果:
(Ⅰ)在下列條件下
(a) 0 < g(p) < kp ,對任意非負常數m及正常數k以及所有p>0均成立
。▔ ▔
(b) m及n滿足〞m>0 且 n>2〞 或〞m=0 且 n> 3〞。
▔ ▔

(c) 當γ足夠大時,存在正常數C,使得 K(r) > ──── 成立。
▔ γm+2
,當 H(.)≡0 時,方程式(0.2) 在 R中不存在正〔有界〕的放射性解。

(Ⅱ)如果 g(.),K(.),H(.)及a(.) 滿足
(a) 對任意正常數k及所有實數 p, 0 < g(p) < k < ∞ 恆成立。
▔ ▔
(b) 在γ足夠大時,存在正常數C使得

╭ ∞ n-1 C
K(γ)+H(γ) │ a(ρ)ρ dρ > ───
╯γ ▔ γ

,則當 H(.)≡0 時,方程式(0.2) 在 R中不存在正〔有界〕的放射性解。
在第三部份中,主要在處理如下之擬線性微分方程式的正放射解之不存在問題,

│ .[g(│ u│) u]=f(│x│,u) x Ω,
(0.3) < u(x)=0 x Ω,
│ u(x) 0 x Ω,

在此Ω為 R中之一球。
在[NT],[NM] 及 [NS] 中,作者利用波氏 (Pohozaev) 不等式去證明方程式(0.3)
在f只含變數u時,解的不存在結果。
在本文,將去探討當f含變數u及r時,在何種條件下會使方程式(0.3) 不存在正
放射性解。首先,經由假設方程式(0.3) 存在正放射性解,吾人得到一個一般化的
波氏不等式,然後將其應用於部份擬線性橢圓型偏微分方程式上(如拉氏運算子,
平均曲率運算子及一般化平均曲率運算子),並去證明這些方程式在Ω上不存在任
何正放射性解。

QRCODE
 
 
 
 
 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
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