我們考慮一階自我迴歸方程式,令其係數為β,誤差值為□,共變異函數E□+n=│n│ L(│n│),0< α <1,我們想去探討Bn( n-β)的極限分佈, Bn:適當的長度因子, n:β的估計量在給定樣本 N下. α >=1的情形也被考慮在其中.
當│β│<1時,我們可在其他論文中發現,當誤差項被假設為短期相關性 (short-range dependence) ,例如:獨立(independence),martingale difference,ARMA 等等, Bn給定為 √n 時則其極限分佈為常態分佈,一個非常有趣的問題就是考慮誤差項為長期相關性(long-range dependence) 時,其共變異函數(convariance function)滿足上面所提到的式子,當α變時,極限分佈就跟著產生不同的變化,可能常態分佈,也可能非常態分佈.我們在 section 2中探討 │β│=1 的情況,而section 2靈感來自於Sowell(1990)定理結果主要參照Sowell(1990),Taqqu(1979),Dobrushin and Major (1979),Chamber and Slud (1989)paper. Section 3的定理結果主要參照Dobrushin and Major (1979),Ho and Sun(1987)paper.
Section 2 中的主要定理中說明α<1/2時,則其極限分佈為有關ｗiener intergral　　　的形式, α>=1/2時得到有關標準布朗運動的形式, section 3中當α<1/2得到非常態分佈的極限分佈,反之α>=1/2得到常態的極限分佈.