# 臺灣博碩士論文加值系統

(44.200.27.215) 您好！臺灣時間：2024/04/20 09:10

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 事實上，根據投影模(projective module)的定義及它的一些特性，我們 輕而易舉地知道自由模(free module)即為一投影模，但反之則不成立。 因此，投影模在何種條件下為一自由模是一個值得深入探討的問題其為本 論文主要動機之一 。然而，投影模跟自由模有很大的關聯性；由其一特 行得知投影模是某一自由模的直和被加數(direct summand)，所以充其量 可以說投影模十分接近自由模。因此，首先本論文將投影模的定義和一些 重要特質加以討論。再則，探討一些有關投影模的特別環，諸如： Hereditary ring，semi- hereditary ring，Dedekind domain ...等等 。觀察在這些環之下投影模跟自由模有何重要關聯。再則我們再繼續介紹 下列特殊的行質的：flat modules，faith- fully flat modules，和 finitely presented modules；則可以得到一非常有趣的結果：一投影模 加上上述的某些特性後在任一質理想子環(pirme ideal)的局部值( localization)是一自由模。因為一自由模可以算它的秩，所以可以有意 義地定義投影模的秩跟此模的局部值所構成自由模的秩有關。最後，考慮 Grothendieck群其由投影模而衍生出來，而且Groth- endieck群和秩可由 一函數知兩者間幾乎一樣。並且再觀察一些上述特殊環之下的 Grothendieck群我們可以發現實際上是跟Z (整數環)同構。
 As we know, projective modules are close to being free, in view of the following basic characterization : M is a projective iff M is a direct summand of a free module. According to some proposition of a projective module, it is easy to check that any free module is a projective module. Conversely, it is not true. Thus it is interesting to survey some situations in which projective modules are free modules. In the first chapter, we consider the definition,prop- erties, and examples of a projective modules. In the second chapter, we consider some special modules, for examples: flat modules, faithfully flat modules and finit- ely presented modules. Then in the forth chapter, we obtain the following result: M is a projective R- module and finitely presented iff the localization of M at a prime idael P of R is free in the local- ization of R at P. We also define the rank of a projective R- module M at a prime ideal P of R is the rank of the localizat- ion of M at P. In the fifth chapter, we consider the Dedekind ring i.e. a domain in which every non zero ideal is invertible. We also discuss the relatiohship between Dedkind rings and projective modules and we show that the followings are equivelent: (1) M is invertible. (2) M is a projective module of rank 1. The goal of the sixth chapter is to give an intrinsic characterzation of rings R for which every R-submodule of an arbitrary projective R-module is projective. Finally, we give a quick introduction to the theory of the Grothendieck groups for arbitrary rings. Here we discover that: under some special rings, the Grothendieck group is isomorphic to Z(integer ring).
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