臺灣博碩士論文加值系統

正規結構是在1948年由M.S. Broskii與D.P. Milman所提出的, 正規結構
一方面能夠定義在一個Banach空間上, 一方面也能夠定義在一個有界凸的
集合上. 均勻正規結構則是在1979年由A.A. Gillespie與B.B. Williams
所提出的. 到目前為止均勻正規結構都仍定義在Banach空間上而卻沒有一
個在有界凸的集合上的定義. 這一篇論文中, 我們比照正規結構的定義,
將均勻正規結構定義在一個有界凸的集合上. 此外在1948年M.S. Broskii
與D.P. Milman提出正規結構的同時他們亦証明了在Banach空間中, 所有
緊緻凸的集合都有正規結構, 這個定理引發我們來討論下面這個問題:
在 Banach空間中是否所有緊緻凸的集合都有均勻正規結構. 這就是本篇
論文所主要討論的問題. 經過我們的証明答案是肯定的. 定理4: 在
Banach空間中所有緊緻凸的集合都有均勻正規結構.在証明這個結果之
前, 我們引用了一個由胡德軍(T. Hu)與黃瑞吉( R.J. Hwang)在最近所提
出的定理. 定理1: X 是一個Banach空間, K 是 X的一個緊緻凸子集, 則
K 中所有緊緻凸子集所成的集合在Hausdorff距離之下是 K 的冪集合的緊
緻子集, 此外我們亦証明了兩個在Hausdorff賦距空間中的收斂定理. 它
們分別是定理2: X 是一個Banach空間, A_n, A 是 X 的緊緻凸子集, 若
在Hausdorff距離之下 A_n 收斂到 A, 則 A_n 的直徑將會收斂到 A 的直
徑. 定理3: X 是一個Banach空間, A_n, A 是 X 的緊緻凸子集, 若在
Hausdorff距離之下 A_n 收斂到 A, 則 A_n 的 Chebyshev 半徑將會收斂
到 A 的 Chebyshev 半徑.最後我們以所有實數數列集所成的集合為例,
重新定義它的norm並直接用定義証明出它不具有均勻正規結構.

The concept of normal structure, a geometric property of a set
in a normed linear space, was introduced by M.S. Brosdkii and D.
P. Milman in 1948. On the other hand, the concept of uniformly
normal structure was introduced and studied by A.A. Gillespie
and B.B. Williams in 1979. Instead of whole space, just in the
case of normal structure, we define uniformly normal structure
for a bounded convex subset of a Banach space. We begin with
the lemma and theorem which have been noted in [5]. They show
that the collection of all compact convex subset of a compact
convex set K is a compact subset of the power set of K in
Hausdorff metric. One of the main result in this paper is to
prove that every compact convex subset of a Banach space has
uniformly normal structure. Also we prove two convergence
theorems in Hausdorff metric space. A sequence of compact
convex sets converge to a compact convex set A in Hausdoff
metric then the sequences of the diameters and Chebyshev radius
of those sets converge to the diameter and Chebyshev radius of
A respectively. At last, we give an example and show that it
does not have uniformly normal structure by the difinition of
uniformly normal structure.