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研究生:彭成煌
研究生(外文):Cheng-Hwang Perng
論文名稱:利用Walsh級數估計迴歸函數
論文名稱(外文):On the Regression Function Estimation by Walsh Series
指導教授:陳天文陳天文引用關係
指導教授(外文):Tien-Wen Chen
學位類別:碩士
校院名稱:淡江大學
系所名稱:數學系
學門:數學及統計學門
學類:數學學類
論文種類:學術論文
論文出版年:1994
畢業學年度:82
語文別:中文
論文頁數:63
中文關鍵詞:迴歸函數估計正交級數Walsh 級數
外文關鍵詞:Regression Function EstimationOrthogonal seriesWalsh Series
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在實務上,處理統計問題時,我們通常是根據所觀測到的樣本觀測值加以
分析,進而做成決策。迴歸分析在統計領域中,是一種重要且常用的資料
分析方法,它被用來探討反應變數(Response)與解釋變數(Regressor)間
的關係、預測(Predict)等。在一般的線性迴歸分析(Linear Regression
Analysis)中,先假設反應變數與解釋變數成線性關係,再利用一些統計
技巧去估計迴歸係數(Regression Coefficients)。當母體的機率密度函
數(p.d.f)未知時,我們得用一些已知的樣本觀測資料做估計,而估計機
率密度函數的方法有很多,例如:正交級數(Ortho- gonal Series)估計
法、核函數(Kernel Function)估計法、Nearest Neigh bor 估計法等。
其中 Cencov (1962) 提出以正交級數估計機率密度函數,後來
Grelicki 和 Pawlak (1985) 把正交級數估計機率密度函數的方法應用於
迴歸函數的估計上。假設 (X1,Y1),(X2,Y2),...,(Xn,Yn) 是 (X,Y) 的一
組獨立且具有相同分配的隨機變數數對。 X 的機率密度函數為 f(x) ,
(X,Y) 的聯合機率密度函數為 h(x,y)。在 E .absolute.(Y) < .inf. 條
件下,令 Y 對X =x的迴歸函數為 r(x) ,則 r(x) = E(Y.lgvert.X=x)
= [g(x)]/[f(x)],其中 g(x) = .int.yh(x,y)dy 。西元 1964 年,
Watson 和 Nadaraya首先提出 r(x) 的估計量 .rnhat.(x) 為 .rnhat.(
x) = [.gnhat.(x)]/ [.fnhat.(x)] 。本文將利用Walsh級數估計迴歸函
數,其中 X .in. [0,1),Y .in. R 並進一步假設 f(x) ,g(x) 為二次
可積函數,則 .rnhat.(x) =[▆YjKN(x,Xj)]/[▆KN(x,Xj)] ,其中
KN(.)為 Walsh Kernel Function,即 KN(x,Xj) = ▆.PSI.k(x).PSI.k(
Xj) = ▆.PSI.k(x.plmin.Xj) ,其中 .PSI.k(.) 為 Walsh 級數的第 K
項。在 (i) N(n) .arrr. .inf. 當 n .arrr. .inf (ii) [.Square.(N(
n))]/n .arrr. 0 當 n .arrr. .inf. (iii) .absolute.(Y) .ltoreq.
Cr < .inf. 條件下,本篇論文 (1) 在第三章第二節證得對於所有 x
.in. [0,1) ,.rnhat.(x) 機率收斂到 r(x);(2)而在第三章第三節證
得 .rnhat.(x)的均方差之一致性(Mean Squared Error Consistency),
即 .liminj. E.Square.(.rnhat.(x) - r(x)) = 0,並求得 .rnhat.(x)
的均方差之收斂速率。第四章則歸納出估計迴歸函數的均方差之收斂速率
一般式,並且列舉各型正交級數所估計之結果。第五章利用電腦實際模擬
,驗證是否與理論相符。

When the probability density function of the population is
unknown . We must use the sample datas that we have observed to
estimate . There are many estimate methods about the
probability density function . For example , orthogonal series
, kernel function and the nearest neighbor , etc . Among these
estimate methods , Cencov (1962) first proposed to estimate
probability density function by orthogonal series . After that
, Grelicki and Pawlak (1985) use the method of orthogonal
series to estimate probability density function on the
regression function estimation . Assume that (X1,Y1) , (X2,Y2)
, ... , (Xn,Yn) are independent and identically distributed
random pairs of (X,Y) . Let f(x) be an unknown probability
density function of X and h(x,y) be the joint probability
density function of (X,Y) . Suppose that E.absolute.(Y) < .inf.
, let the regression function of Y on X = x be r(x) = E[Y.
lgvert.X=x] = [g(x)}/[f(x)] , where g(x) = .int. yh(x,y)dy .
Watson and Nadaraya (1964) first proposed to estimate r(x) by
.rnhat.(x) = [.gnhat.(x)]/[.fnhat.(x)] . In this paper , we
want to estimate the regression function by Walsh series ,
where X .in. [0,1) , Y .in. R . Further assume that f(x) , g(x)
.in. L2 . Thus , .rnhat.(x) = [▆YjKN(x,Xj)]/[▆KN(x,Xj)] ,
where KN(.) is the Walsh Kernel function , that is , KN(x,Xj) =
▆.PSI. K(x).PSI.(Xj) = ▆.PSI.K(x.plmin.Xj) , where .PSI.K(.)
is the Walsh series of the Kth term . Under the following
conditions : (i) N(n) .arrr. .inf. as n .arrr. .inf. , (ii) [.
Square.(N(n))]/n .arrr. 0 as n .arrr. .inf. , (iii) .absolute.(
Y) .ltoreq. Cr < .inf. . In chapter 3 , we can show that (1)
.rnhat.(x) conver- gence in probability to r(x) , for all x
.in. [0,1) (2) .rnhat. (x) is Mean Squared Error Consistency ,
that is , .liminj.E .Square.(.rnhat.(x) - r(x)) = 0 . Further
the rate of convergence of mean square error of .rnhat.(x) is
obtained .

QRCODE
 
 
 
 
 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
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