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這一篇論文的目的主要是提出正定矩陣之一些不等式, 並回答瑞齊貝蒙
(Richard Bellman ) 在西元 1978 年的國際廣泛不等式會議
(Internation Conference on General Inequalities) 中提出的兩個問
題, 其中第一個問題問到在正定矩陣之世界梩是不是存在類似算術平均大
於等於幾何平均的不等式,第二個問題問到在已知成立的一些跡(trace)不
等式 將它推廣到高階其結果是不是還依然成立。我們首先討論將一個正
定矩陣之對角線元(diagonal entrices)依遞減排序和它的特徵值(
eigenvalues)依遞減排序之間的關係。我們並且討論正定矩陣與對稱矩陣
相乘的特徵值依遞減排序排好,然後討論與個別的特徵值依遞減排序相乘
、相加的關係。第二, 我們利用上面的結果推導出正定矩陣有類似算術平
均大於等於幾何平均的不等式,這 一個結果楊逸松 (Yisong Yang [4]),
丹尼思遜 (Dinesh Singh [5]),and 海麗霓妲克 (Heinz Neudecker [6
]) 分別利用不同的方法去得到。我們並且利用一些著名的不等式作用在
特徵值上面, 然後得到一些跡(trace) 不等式。第三, 我們推導出正定矩
陣之對角線元平方依遞減排序和正定矩陣自乘其跡的關係, 我們並且討論
正定矩陣跡和弗賓尼斯模( Frobenius norm ) 的關係, 並且推導出正定
矩陣之凸組合的量表示式。第四, 我們討論正定矩陣之一些跡不等式的高
階成立, 這一部份是回答瑞齊貝蒙 (Richard Bellman)所提出的第二個問
題的一些相關問題討論。[3]最後, 我們推導出正定矩陣之一些混合型跡
不等式。
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