線性算子的反問題是指︰如何由該算子的譜及其相關的資料來迴朔算子本
身。早期關於這方面的研究結果，我們知道一組算子譜是不足以決定該算
子的。在八十年代後期，新的一類反問題開始被研究工作者所探討，我們
稱之為〝反節點問題〞也就是說︰如何由算子的固有值與其相對的固有函
數之節點，來將一線性算子建造回來。以現實而言，這方面的研究比起早
期的反問題研究，來得較為合理且較容易觀察。關於如何由固有值與節點
位置，來唯一決定線性算子的問題於數年前已被回答。在本文的第二章中
，我們假設了弦振動方程式中的密度函數為二次可微連續函數，從而我們
建造了一個由固有值與節點位置所組成的函數列，該函數列一致收歛至密
度函數的平方根之倒數。並且由此建造，我們可將密度函數的第一、二階
導數表為固有值與節點之間長度的差分。這些結果在數值計算上有其應用
性。關於二階微分算子之固有值的探討，由來已久。其中有兩個相當有趣
的公式，分別為︰固有值的漸近公式與固有值的跡公式，這兩個公式在反
問題的研究中所伴演的角色，分別是：一個提供解存在的必要條件，而另
一個提供解的長相。在第三章中，我們所研究的是利用漸近公式以及複變
函數論的技巧來推導跡公式。一些關於第二章與第三章中須要使用到的估
計量，我們將它們列於第一章中。
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