本篇論文的目的在說明經過改良之 Runge-Kutta-Fehlberg法,可以用來解
決不連續常微分方程之初值問題.對於所考慮的微分方程,我們探討其解的
不連續處,這?堛漱ㄢs續點指的是跳躍式之不連續,而非無窮大之不連續.
由於局部截尾誤差的定義,通常在使用傳統的Runge-Kutta-Fehlberg法解
決這類問題時,會因在此點無法作積分而宣告失敗.在本文中,我們將適當
的改良傳統的Runge-Kutta-Fehlberg法,重新定義局部截尾誤差,以便克服
在數值方法上的難題.經過測試,改良後的方法確實是成功了!在此同時,它
依然可保持傳統的Runge-Kutta-Fehlberg法之優點.數值分析是提供各種
數值計算的方法,以解決廣泛的數學問題,這些數值方法只使用算術及邏輯
運算,因此可以直接放到電腦上去運做,以求得數學問題的解答.數值方法
與電腦的結合應用,使得數值分析成為能夠發揮極大功能的一種工具;例
如,數值方法可解決非線性方程式,大方程式組,微積分,微分方程等.這些
問題在古典數學上是無法與現今使用電腦所產生的結果相比較的,不論在
研究工作或各業界的實用上,數值分析逐漸取代古典數學分析,即使是古典
數學所可以解決的問題;因為數值分析的結果是那麼簡單,容易又方便的取
得.當然,數值分析也有它的限制,如某些數學問題上,其結果的精確成度無
法達到要求,或無法產生完整的數學模式.這可能是人為上,對數學模式的
本身未能瞭解透徹以提供明確的說明;或是技術上,電腦的計算能力的限
制,不過電腦技術的發展,已大大提高數值的方法計算能力.另一方面,各電
腦上也發展了多量,多類的現成軟體或副程式,供科學家或工程師們,利用
數值方法來解決數學問題.但是當他們想使用時,這些軟體或副程式,何者
為他們所需呢?例如,有了Runge-Kutta法的副程式,卻不知用來解決何種數
學問題,如果他們有數值分析的能力,就知道,如有需要解微分方程式時,可
利用電腦現成的Run-ge-Kutta法的程式得到問題的答案結果.所以,今天的
科學家或工程師們應該有數值分析的能力,以便在電腦如此普遍的今天,能
夠選取,利用或修改現成的電腦軟體,甚至自己製作電腦程式,以協助他們
解決研究上或實用上的數學問題.