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研究生:郎一全
研究生(外文):LANG, YI-CHUAN
論文名稱:高階的結不變量
論文名稱(外文):Higher Degree Knot Invariant
指導教授:楊樹文楊樹文引用關係
指導教授(外文):Chuang Chen-Lian
學位類別:博士
校院名稱:國立臺灣大學
系所名稱:數學系
學門:數學及統計學門
學類:數學學類
論文種類:學術論文
畢業學年度:85
語文別:中文
論文頁數:58
中文關鍵詞:結不變量
外文關鍵詞:KnotKnot Invariant
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1990年, Vassiliev [V]研究結空間在平滑函數空間中的補集, 並將其
拓樸結構用 Vassiliev complex 表達出來. 而 Vassiliev complex 的同
調群則和結不變量有密切的關係. 1991年, Bar-Natan [B2]利用
perturbative Chern-Simon theory 和 Feynman integral得到
Vassiliev 結不變量. 在這篇論文中, 我們將計算 Vassiliev complex
的同調群及一些上同調群的性質, 並將說明如何連繫這些同調群和
Feynman diagram, 這樣就可以利用 Feynman integral 得到結不變量.
Vassiliev 描述了 Vassiliev complex 的 cell decomposition, 並把這
些 cell 叫做 diagram. 一個 diagram 可以用圓上的弦來表示. 對應於
cell 的邊界, 我們也可以在 diagram 上定義邊界算子, 若是考慮所有秩
為 n 的 diagram 所生成的自由可換群, 並用次數 ( degree ) 來加以分
類, 再配合上述的邊界算子, 我們就得到一個 chaincomplex, 而由這個
chain complex 所得到的同調群就叫做 diagram 的同調群 由
Vassiliev lemma 得知, 在計算 diagram 的同調群時, 只要考慮原先
chain complex 的一個 subcomplex, 是由 redundancy = 0 的 diagram
所生成, 並 quotient一些關係, 這些關係叫做三角關係, 這樣可以將較
高 redundancy 的 diagram 去除, 從而簡化 diagram 的同調群的計算.
另外, 由楊樹文 , 翁秉仁兩位教授的文章 [OY2], 我們得知, 計算
diagram 的同調群時, 在 Vassiliev lemma 的基礎之下, 其實只要考慮
由 cross diagram 所生成的subchain complex 即可, 這樣將大大降低計
算時的複雜度. 將 cross diagram 分成 infinite 和 real 兩部份,
我們將得到一個 double complex, 由這個 double complex 所生成的譜
序列 ( spectral sequence ) 將可用來計算 diagram的同調群, 且其
E3=E infinity. 所以在這篇論文中, 我們首先將用 diagram 的語言來描
述這個譜序列的 d2 differential, 並將實際計算許多例子, 包括秩為
2, 3, 4 的情況,同時也將說明這些 diagram 的同調群與 weight system
的關係以及如何從這些 diagram的同調群得到結不變量. 此外, 若是考
慮 diagram chain complex 的 dual complex, 我們也可以定義 diagram
的上同調群, 在最後一節, 我們將討論 diagram 的上同調群的模結構.
Let sigma denote the space of smooth maps from S1 to R3 which
are notembeddings and K denote the space of knots i.e. the
smooth embedding from S1to R3. The Vassiliev complex is a
description of finite codimensionaltopological structure of
sigma and homology class of Vassiliev complex is closely related
to knot invariant,i.e. cohomology of K. Vassiliev [V] described
a cell decomposition for the Vassiliev complex andthe cells were
called diagrams,i.e. chords and stars on S1. He used order
number to represent the codimension in which the Vassiliev
complex reflectsthe topological structure of sigma ( Actually,
the codimension is equal to order time 3 ). Utilizing Vassiliev
lemma, one could show that the chain complex of diagrams could
be reduced to a quotient chain complex of diagramsin which the
number of chords and stars is equal to the order ([OY1]). The
congruence relation is called the triangular relation which
comes fromthe simplexboundary of loops in diagrams. In [OY2],
using the same congruence relation in the Vassiliev lemma, the
cross diagrams (having no star and small chord) constitute a
chain complex which is homologically equivalent to the chain
complex of diagrams. This property is called the cross diagrams
reductiontheorem. Utilizing the cross diagrams reduction
theorem, we have the two row spectralsequence with E3 = E
infinite. In this article, we use the language of diagrams to
describe the d2 differential and compute some diagram homology
groups. On the other hand, in [OY1], the passing product is
defined in the cohomology of Vassiliev complex. In this article,
we show that the pointed, framedVassiliev cohomology is a module
over the real Vassiliev cohomology. In more details, the
contents of this article are as follows: in section 2, we give
the definition of diagram, boundary operator and triangular
relation.In section 3, we state the cross diagrams reduction
theorem and the two rowspectral sequence. In section 4, we use
the language of diagrams to described2 differential. In section
5, we use the results in section 3 and 4 to computesome diagram
homology groups and describe briefly the relation with
weightsystems and knot invariants. In section 6, we show the
module structure of thepointed, framed Vassiliev cohomology over
the real Vassiliev cohomology.
Cover
Contents
1 Introduction
2 Definition and Preliminary
2.1 Diagram
2.2 Figure for diagram
2.3 Cell decomposition of diagram spaces
2.4 Boundary poerator on diagrams
2.5 Orientations of diagrams in 
2.6 Triangular relations
2.7 Chain complexes and diagram homology
3 Star Reduction
3.1 Cross diagram
3.2 δ∞-spectral sequence
3.3 The E1 terms
4 Description of  Differential
4.1 Standard form of diagrams
4.2 differential
5 Some Computation
5.1 Order 2 case
5.2 Order 3 case
5.3 Order 4 case
5.4 Relation with weight system
5.5 Relation with dnot invariant
6 Diagram Cohomology
6.1 Introduction
6.2 Diagram cohomology and Vassiliev lemma
6.3 Module structure
Reference
QRCODE
 
 
 
 
 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
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