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研究生:徐宏全
研究生(外文):Xu, Hong-Quan
論文名稱:關於對數平均數的研究
論文名稱(外文):A note on the logarithmic mean
指導教授:楊國勝楊國勝引用關係
指導教授(外文):Gou-Sheng Yang
學位類別:碩士
校院名稱:淡江大學
系所名稱:數學學系
學門:數學及統計學門
學類:數學學類
論文種類:學術論文
論文出版年:1997
畢業學年度:85
語文別:中文
論文頁數:18
中文關鍵詞:算術平均數艾坦平均數對數平均數幾何平均數調和平均數
外文關鍵詞:arithmetic meanidentric meanlogarithmic meangeometric meanharmonic mean
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對於不相等正實數x與y,定義它們的算數平均數A(x,y),identric
平均數I(x,y),對數平均 數L(x,y),幾何平均數G(x,y),以及調和平
均數H(x,y)如下: A=A(x,y)=(x+y)/2, I=I(x,y)=(1/e)(x^x/y^y)
^[1/(x-y)] L=L(x,y)=(x-y)/(lnx-lny), G=G(x,y)=(xy)^(1/2)
H=H(x,y)=(2xy)/(x+y) 在1972年,B.C.Carlson 証明了G<L<(2G+
A)/3<A. 在1975年,K.B.Stolarsky 証明了G<L<I<A. 在1990年,
J.Sandor 証明了(A+L)/2<I. 在1991年,J.Sandor 証明了(A+L)/2<(2
A+G)/3<I. 整理以上的結果,我們知道 y<H<G<L<(2G+A)/3<(A+
L)/2<(2A+G)/3<I<A<x, 當x>y. 在這篇文章中,我們提供了一個較基
本的方法來証明上面的不等式。 想法如下:我們考慮F(s)=s(x-y)+y
這個嚴格遞增函數,其中s是介於0和1之間的任意 數。令F(s1)=H, F(
s2)=G, F(s3)=L, F(s4)=(2G+A)/3, F(s5)=(A+L)/2, F(s6)=(2A+
G)/3, F(s7)=I, F(s8)=A 這篇文章的主要結果就是証明, 0<s1<
s2<s3<s4<s5<s6<s7<s8<1, 那麼 F(0)<F(s1)<F(s2)<F(s3)<F(s4)<F(
s5)<F(s6)<F(s7)<F(s8)<F(1) 是很明顯的。 因此,不等式就被我們
証實了。

For unequal positive x and y, the arithmetic mean A(x,y), the
identric mean I(x,y), the logarithmic mean L(x,y), the
geometric mean G(x,y), and the harmonic mean H(x,y) for x and
y are defined by A=A(x,y)=(x+y)/2, I=I(x,y)=(1/e)(x^x/y^y)
^[1/(x-y)] L=L(x,y)=(x-y)/(lnx-lny), G=G(x,y)=(xy)^(1/2) H=H(
x,y)=(2xy)/(x+y) respectively. In 1972, B.C.Carlson
proved that G<L<(2G+A)/3<A. In 1975, K.B.Stolarsky proved that
G<L<I<A. In 1990, J. Sandor proved that (A+L)/2<I. In 1991, J.
Sandor proved that (A+L)/2<(2A+G)/3<I. Consequently, we have
y<H<G<L<(2G+A)/3<(A+L)/2<(2A+G)/3<I<A<x if x>y. In this
article, we present an elementary proof for the inequalities.
The idea is that, we consider the strictly increasing function
F(s)=s(x-y)+y, s is between 0 and 1, and let F(s1)=H, F(s2)=
G, F(s3)=L, F(s4)=(2G+A)/3, F(s5)=(A+L)/2, F(s6)=(2A+G)/3. F(
s7)=I, F(s8)=A.
The main results of this article is to show that 0<s1<s2<s3<
s4<s5<s6<s7<s8<1,then F(0)<F(s1)<F(s2)<F(s3)<F(s4)<F(s5)<F(
s6)<F(s7)<F(s8)<1, which is equivalent to the
inequalities.

QRCODE
 
 
 
 
 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
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