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臺灣博碩士論文加值系統

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研究生:林志杰
研究生(外文):Chin-Chieh Lin
論文名稱:泛魔方陣性質的探討
論文名稱(外文):A study of pandiagonal magic squares
指導教授:高金美
指導教授(外文):Chin-Mei Kau Fu
學位類別:碩士
校院名稱:淡江大學
系所名稱:數學學系
學門:數學及統計學門
學類:數學學類
論文種類:學術論文
論文出版年:1999
畢業學年度:87
語文別:中文
論文頁數:35
中文關鍵詞:泛魔方陣魔方陣
外文關鍵詞:pandiagonal magic squaremagic square
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  一個n階的魔方陣 (Magic square) 是指在一個方陣中填入 1到n2 的連續正整數,使其中每行每列及兩個主對角線上的數字和均相等的方陣。一個n階泛魔方陣 (Pandiagonal magic square)是指在一個方陣中填入 1 到n2 個連續的正整數,使其中每行每列及每一對角線(包括所有斷掉和未斷的)的數字和均相等的方陣。
在本論文中我們証明一個n階泛魔方陣存在的必要條件為:若n為奇數時,則n>4,若n為偶數時,則n為4的倍數,接著我們利用兩個正交的泛常數和方陣相加後,可產生泛魔方陣的性質,建構出4k階的泛魔方陣;對於奇數階的泛魔方陣,我們則是利用階梯步法,將一n階的自然輔助方陣內的數經過步法重排後產生一個泛魔方陣。同時討論了n階的泛魔方陣的矩陣特性,我們得到3階魔方陣的奇數次方,仍然是一個廣義的魔方陣,又4階及5階泛魔方陣的奇數次方亦是一個廣義的泛魔方陣。至於4階及5階以上的魔方陣的奇數次方則不一定仍保有魔方陣的特性。但階數n大於7的泛魔方陣M,若滿足M3 = aM(a為常數)的條件,則此泛魔方陣的奇數次方為一廣義的泛魔方陣。

  A magic square of order n is an nхn array with integers 1,2,…,n2 such that each row, each column and two main diagonal have the same sum . A pandiagonal magic square of order n is an nхn array with integers 1,2,…,n2 such that each row, each column and each broken or unbroken diagonal have the same.
In this thesis , we prove that the existence condition for a pandigonal magic square of order n is that n is odd(n>4) or n is multiple of 4. By two orthogonal pandiagonal constant sum squares Rong-Guo Sun [7] constructed a pandiagonal magic square of order 4k. For odd n>4, we can use step method to construct a pandiagonal magic square of order n .
In the last section we discuss the properties of pandiagonal magic squares of order n . We obtain that any odd power of a magic square of order 3 is a magic square , and any odd power of a pandiagonal magic square of order 4 is still a pandiagonal magic square . Using different method A.C.Thompson [5]proved that any odd power of pandiagonal magic square of order 5 is a pandiagonal magic square . We obtain that if a pandiagonal magic square M of order n,n>5 satisfies M3=aM, then the odd power of M is a pandiagonal magic square .

第一章 緒論......................1
第二章 泛魔方陣的定義及存在性.............3
第三章 泛魔方陣的建構法................7
第四章 泛魔方陣的性質................24
附錄 ........................33
參考書目 ......................35

1. 林克瀛,魔方陣,數學傳播第四卷第四期,1980
2. 林克瀛,魔方陣的性質,科學月刊第十一卷第十二期,1980
3. 李炎坤、陳麗掬,漫談魔方陣,淡江數學第九期,1976
4. Arno van den Essen, Magic squares and linear algebra, The  teaching of mathematics ,1990.60-62
5. Wlodzimierz Proskurowski & Andrej Proskurowski  ,Construction of pandiagonal magic squares from circulant    pandiagonal matrices, Ars combinatoria ,1983,153-162.
6. Rong — Guo Sun, On existance of pandiagonal magic squares
  ,Ars Combinatoria,1989.56-60.
7. A.C.Thompson , Odd magic powers, Amer.-Math.-   
 Monthly,1994,339-342.

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