臺灣博碩士論文加值系統

小數部分的均勻分佈
給定一實序列，如果對[0,1]區間的任意子區間[a,b]，此序列都滿足當N趨近於無限大時，此序列前N項落在區間[a,b]的個數，除以N之後，會等於此區間的長度b-a，我們就稱此序列在[0,1]區間是均勻分佈的。若一實序列的小數部分所成的序列均勻分佈在[0,1]區間，我們稱此實序列是uniform distributed modulo one.(在此我們簡稱為U.D.mod1)
一開始我們想知道這些的U.D.mod1的序列是否保有什麼代數性質？我們找到了兩個U.D.mod1的序列，但相加所成的新序列卻不再是U.D.mod1。所以可知在一般情況下，加法不具有封閉性。接下來，我們想經由給定一U.D.mod1的序列，找出其他U.D.mod1的序列。經由Weyl Criterion可知，若一序列是U.D.mod1，那麼對任意正整數m，此序列m倍之後所成的新序列也會U.D.mod1。反過來，我們想了解除以m倍之後的情形。在論文中我們有證明，任給一U.D.mod1的序列和正整數m，如果除以m倍之後的新序列也是U.D.mod1，那麼存在一子序列，使的此子序列是U.D.mod1，但是此子序列除以m倍之後的新序列將不再是U.D.mod1。我們還證明下面的結果：給定兩個遞增且U.D.mod1的序列，考慮這兩個序列聯集所成的集合，以遞增方式排列所成的新序列，如果這三個序列滿足一些條件(在論文中有詳細的敘述)，那麼這個由聯集所產生的新序列也會U.D.mod1。反之，給定一U.D.mod1且遞增的序列，如果它存在一個遞增且U.D.mod1的子序列，那麼，在滿足一些條件下，原本的序列在扣掉那個子序列後所成的新序列，也會U.D.mod1。

1 Introduction............................................... 1
2 Some general properties of uniform distribution modulo one..6
3 Uniform distribution modulo one with respect to the special
case.......................................................23
4 Reference..................................................32

[1] Cassel(1957), An Introduction to Diophantine Approximation, Cambridge University Press.
[2] L. Kuipers and H. Niederrieter(1974), Uniform Distribution of Sequence, Wiley, New York.
[3] S. Lang(1966), Introduction to Diophantine Approximations, Addison-Wesley Publishing Company.
[4] I. Niven(1963), Diophantine Approximations, Wiley, New York.