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研究生:劉昭玫
研究生(外文):Chao-Mei Liu
論文名稱:多重網格法在不連續係數的橢圓方程上的應用
論文名稱(外文):Multigrid Method for Elliptic Equations with Discontinuous Coefficients
指導教授:陳宜良陳宜良引用關係
指導教授(外文):I-Liang Chern
學位類別:碩士
校院名稱:國立臺灣大學
系所名稱:數學研究所
學門:數學及統計學門
學類:數學學類
論文種類:學術論文
論文出版年:2001
畢業學年度:89
語文別:英文
論文頁數:34
中文關鍵詞:多重網格法調和平均法
外文關鍵詞:multigrid methodharmonic average methodimmersed interface method
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在本論文中我們提出一個一階精確多重網格法(Multigrid method)結合調和平均有限體積法的概念去解決一個在二維區域上有Dirichlet邊界條件的橢圓方程式;$$-\nabla\cdot (\varepsilon\nabla u )=f$$ 。
在此‚我們假設係數$\varepsilon$ 在斷面上不連續而函數f可以是delta function‚ 且所取的網格是規則的。當用有限體積法去離散方程式的時候‚ 我們藉由取調和平均解決不連續係數所造成的困難。而且我們採用多重網格加速法來達成線性的收斂速度。

A first-order accurate multgrid method combining with idea of harmonic averaging finite volume method is proposed for solving the elliptic equation: $$-\nabla\cdot (\varepsilon\nabla u )=f$$
in a two dimensional region $\Omega$ with Dirichlet boundary conditions. Here,the coefficient $\varepsilon$ is assumed to be discontinuous across an interface and the source term f is allowed to be a delta function. The underlying grid is regular. The difficulty of discontinuous coefficients is resolved by taking its harmonic averages in finite volume discretization. A multigrid acceleration is adopted to achieve linear convergent rate.

1 Introduction 3
1.1 Motivation ………………………………………………………………3
1.2 Elliptic Equation with Discontinuous Coefficients……………4
2 Approach 6
2.1 Immersed Interface Method……………………………………………6
2.2 Mulitigrid Methods ……………………………………………………9
3 Solve the Elliptic Equation in One Dimensional Case 11
3.1 Harmonic Average Method ……………………………………………11
3.2 Multigrid Method for Solving
$$-\nabla\cdot (\varepsilon\nabla u )=f$$
in One Dimension with Discontinuous Coefficients……………15
4 Multigrid Method for Elliptic Equation in Two Dimension with
Discontinuous Coefficients 17
5 Numerical Examples 23
6 Conclusion 33

[1] P.Debye and E.Hückel: Physik. Z., 24, pp185, 1923
[2] LeVegue and Li: The immersed interface method for elliptic
equations with discontinuous coefficients and singular
source. SIAM J. Numer. Anal., 4(1994), pp1019-1044
[3] Zhilin Li: A fast iterative algorithm for elliptic
interface problems, SIAM J. Numer. Anal. Vol.35, No.1, pp230-
254, February 1998
[4] Hans Johansen and Phillip Colella: A Cartesian grid
embedded boundary method for Poisson's equation on irregular
domains, Journal of Computational Physics 147, pp60-85, 1998
[5] James W. Demmel: Berkeley lecture notes on numerical linear
algebra, 1996
[6] Wolfgang Hackbusch: Multi-grid methods and applications,
Springer-Verlag, 1985
[7] Michael Holst and Faisal Saied: Multigrid Solution of the
Poisson-Boltzmann Equation,
[8] William H.Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling
and Brian P. Flannery:Numberical Recipes in C, second
edition, Cambridge University Press, 1999

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