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研究生:何其昌
研究生(外文):Chi-Chang Ho
論文名稱:旋轉三維Euler梁之振動分析
論文名稱(外文):Free Vibration Analysis of Three Dimensional Rotating Euler beam
指導教授:蕭國模
指導教授(外文):Dr.Kuo-Mo Hsiao
學位類別:碩士
校院名稱:國立交通大學
系所名稱:機械工程系
學門:工程學門
學類:機械工程學類
論文種類:學術論文
論文出版年:2002
畢業學年度:90
語文別:中文
論文頁數:176
中文關鍵詞:尤拉
相關次數:
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旋轉三維Euler梁之振動分析
研究生:何其昌 指導教授:蕭國模 博士
國立交通大學機械工程學系碩士班
摘要
本研究主要是利用共旋轉法來推導雙對稱三維Euler旋轉梁的運動方程式,並探討三維旋轉梁振動的自然頻率。旋轉梁存在一個穩態,本文中的振動是指基於穩態的微小振動。
本文利用非線性梁理論的一致線性化、d''Alembert原理和虛功原理在旋轉元素座標上推導梁元素的節點變形力和節點慣性力。在推導過程中保留穩態變形的節點參數和其微分到二次項以及扭率的三次項,而振動部份保留節點參數和其微分到一次項。
本文利用基於牛頓法的增量迭代法求解穩態變形,並使用二分法來求取Euler旋轉梁的自然頻率。本文最後以數值例題來驗證所提數值方法的正確性和效能,並探討不同斷面、不同長度、不同轉速及不同設定角對旋轉梁自然頻率的影響,並與文獻中Timoshenko梁比較。
Free Vibration Analysis of Three Dimensional Rotating Euler beam
Student : Chi-Chang Ho Advisor : Dr. Kuo-Mo Hsiao
Department of Mechanical Engineering
National Chiao Tung University
Abstract
The equations of motion for the doubly symmetric three dimensional rotating Euler beam is derived using a co-rotational total Lagrangian finite element formulation combined with rotating frame method.The natural frequency of the infinitesimal free vibration of the rotating beam measured from the position of the steady-state deformation of rotating beam is investigated.
Both the element deformation nodal forces and inertia nodal forces are systematically derived by consistent linearization of the fully geometrically non-linear beam theory using the d''Alembert principle and the virtual work principle in the current rotating element coordinates. The terms up to the second order of nodal parameters, their spatial derivatives, and the third order term of twist rate corresponding to the steady-state deformations are all retained. However, only the terms up to the first order of nodal parameters, and their spatial derivatives and time derivatives corresponding to the free vibration are retained.
An incremental-iterative method based on the Newton-Raphson method is employed to solve the steady-state deformation. A bisection method is employed to determine natural frequencies of the rotating Euler beam. Numerical examples are studied to demonstrate the accuracy and efficiency of the proposed method and to investigate the effect of angular velocities, setting angles, cross sections and slenderness ratios of the beam on the natural frequency of the rotating beams.
目 錄
中文摘要 Ⅰ
英文摘要 Ⅱ
誌謝 Ⅲ
目錄 IV
表目錄 Ⅶ
圖目錄 ⅩⅥ
第一章 緒論 1
第二章 理論推導 5
2.1 問題描述 5
2.2 基本假設 5
2.3 座標系統描述 5
2.4 旋轉向量 6
2.5 Euler梁的變形描述 6
2.6 梁的應變、速度、加速度及梁的位置向量
的變分、應變的變分 9
2.6.1 梁的應變 9
2.6.2 梁的速度與加速度 10
2.6.3 梁之位置向量的變分及應變的變分 12
2.7 元素節點參數及節點力 14
2.8 元素節點內力之推導 15
2.8.1 應力所做的虛功 15
2.8.2 慣性力所做的虛功 18
2.8.3 外力所做的虛功 19
2.8.4 元素節點內力 20
2.8.5 系統的運動方程式 22
第三章 穩態與振動分析 23
3.1 旋轉梁的穩態平衡方程式 23
3.2 旋轉梁的振動方程式 23
3.3 元素剛度矩陣及質量矩陣 26
3.4 無因次化 33
第四章 數值計算方法與程序 36
4.1穩態解 36
4.1.1增量迭代之數值計算方法 36
4.1.2 數值程序 38
4.2振動分析 38
第五章 數值例題 41
5.1 元素A與元素B的比較…………………………………………………. 42
5.2 收斂分析 42
5.3 旋轉梁的自然頻率 43
5.4 Euler梁與Timoshenko梁的比較.…………………………………………. 44
5.5自由翹曲(Warping free)與抑制翹曲(Warping restraint)對自然
頻率的影響 45
5.6 對振動頻率的影響 45
5.7 設定角對自然頻率的影響 46
5.8 三維與二維旋轉梁的比較 46
第六章 結論與展望 48
參考文獻 50
附表 53
附圖 123
附錄A Galerkin 法求穩態方程式的無因次化結果 177
附錄B 斷面常數 179
附錄C 不均勻元素網格 183
附錄D 自然頻率之解析解 184
表目錄
表一 元素A與元素B穩態解的比較
( ) 53
表二 元素A與元素B振動頻率的比較
( ) 54
表三 旋轉梁在不同元素數目下振動頻率的收斂分析
( Ellipse Section ) 55
表四 旋轉梁在不同元素數目下振動頻率的收斂分析
( Ellipse Section ) 56
表五 旋轉梁在不同元素數目下振動頻率的收斂分析
( I Section ) 57
表六 旋轉梁在不同元素數目下振動頻率的收斂分析
( I Section ) 58
表七 旋轉梁在不同元素數目下振動頻率的收斂分析
( Cruciform Section )……………….………… 59
表八 旋轉梁在不同元素數目下振動頻率的收斂分析
( Cruciform Section ) 60
表九 三維梁自然頻率之有限算法數值解與解析解之比較
61
表十 旋轉橢圓斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率
62
表十一 旋轉橢圓斷面Euler梁(Warping Free)在不同轉速及設定角下的振動頻率
63
表十二 旋轉橢圓斷面Timoshenko梁在不同轉速及設定角下的振動頻率
64
表十三 旋轉橢圓斷面Timoshenko梁(Warping Free)在不同轉速及下的振設定角動
頻率
………………..…...…. 65
表十四 旋轉橢圓斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率
66
表十五 旋轉橢圓斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率
67
表十六 旋轉橢圓斷面Euler梁(R=1)在不同轉速及設定角下的振動頻率
68
表十七 旋轉橢圓斷面Euler梁(R=2)在不同轉速及設定角下的振動頻率
69
表十八 旋轉橢圓斷面Timoshenko梁(R=1)在不同轉速及設定角下的振動頻率
70
表十九 旋轉橢圓斷面Timoshenko梁(R=2)在不同轉速及設定角下的振動頻率
.……………..……. 71
表二十 旋轉橢圓斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率
72
表二十一 旋轉橢圓斷面Euler梁(Warping Free)在不同轉速及設定角下的振動頻率
73
表二十二 旋轉橢圓斷面Timoshenko梁在不同轉速及設定角下的振動頻率
74
表二十三 旋轉橢圓斷面Timoshenko梁(Warping Free)在不同轉速及設定角下的振
動頻率
75
表二十四 旋轉橢圓斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率
76
表二十五 旋轉橢圓斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率
77
表二十六 旋轉橢圓斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率
78
表二十七 旋轉橢圓斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率
79
表二十八 旋轉橢圓斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率
80
表二十九 旋轉橢圓斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率
81
表三十 旋轉橢圓斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率
82
表三十一 旋轉橢圓斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率
83
表三十二 旋轉I型斷面Euler梁在不同轉速不同設定角下的振動頻率
84
表三十三 旋轉I型斷面Euler梁(Warping Free)在不同轉速不同設定角下的振動頻

85
表三十四 旋轉I型斷面Timoshenko梁在不同轉速不同設定角下的振動頻率
86
表三十五 旋轉I型斷面Timoshenko梁(Warping Free)在不同轉速不同設定角下的
振動頻率
87
表三十六 旋轉I型斷面Euler梁在不同轉速不同設定角下的振動頻率
88
表三十七 旋轉I型斷面Timoshenko梁在不同轉速不同設定角下的振動頻率
89
表三十八 旋轉I型斷面Euler梁在不同轉速不同設定角下的振動頻率
90
表三十九 旋轉I型斷面Euler梁在不同轉速不同設定角下的振動頻率
……………………………………………………….……………… 91
表四十 旋轉I型斷面Euler梁(Warping Free)在不同轉速不同設定角下的振動頻率
…………………………………………………………………….…. 92
表四十一 旋轉I型斷面Timoshenko梁在不同轉速不同設定角下的振動頻率
………………………………………………………………………… 93
表四十二 旋轉I型斷面Timoshenko梁(Warping Free)在不同轉速不同設定角下的
振動頻率
………………………………………………………….……………. 94
表四十三 旋轉I型斷面Euler梁在不同轉速不同設定角下的振動頻率
95
表四十四 旋轉I型斷面Euler梁在不同轉速不同設定角下的振動頻率
96
表四十五 旋轉I型斷面Euler梁在不同轉速不同設定角下的振動頻率
97
表四十六 旋轉I型斷面Euler梁在不同轉速不同設定角下的振動頻率
98
表四十七 旋轉十字斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率
99
表四十八 旋轉十字斷面Euler梁(Warping Free)在不同轉速及設定角下的振動頻率
100
表四十九 旋轉十字斷面Timoshenko梁在不同轉速及設定角下的振動頻率
101
表五十 旋轉十字斷面Timoshenko梁(Warping Free)在不同轉速及設定角下的振動
頻率
102
表五十一 旋轉十字斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率
103
表五十二 旋轉十字斷面Timoshenko梁在不同轉速及設定角下的振動頻率
104
表五十三 旋轉十字斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率
105
表五十四 旋轉十字斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率
106
表五十五 旋轉十字斷面Euler梁(Warping Free)在不同轉速及設定角下的振動頻率
107
表五十六 旋轉十字斷面Timoshenko梁在不同轉速及設定角下的振動頻率
108
表五十七 旋轉十字斷面Timoshenko梁(Warping Free)在不同轉速及設定角下的振
動頻率
109
表五十八 旋轉十字斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率
110
表五十九 旋轉十字斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率
111
表六十 旋轉十字斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率
112
表六十一 旋轉十字斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率
113
表六十二 旋轉梁設定角對自然頻率的影響
114
表六十三 旋轉梁設定角對自然頻率的影響
115
表六十四 旋轉梁設定角對自然頻率的影響
116
表六十五 旋轉梁設定角對自然頻率的影響
117
表六十六 旋轉梁設定角對自然頻率的影響
118
表六十七 旋轉梁設定角對自然頻率的影響
119
表六十八 旋轉梁設定角對自然頻率的影響
120
表六十九 旋轉梁設定角對自然頻率的影響
121
表七十 三維與二維旋轉梁的自然頻率之數值比較
122
圖目錄
圖一 旋轉梁之三視圖 123
圖二 旋轉Timoshenko梁之位移及座標系統 124
圖三 旋轉向量圖 125
圖四 梁的斷面圖 126
圖五 位移分布圖
127
圖六 位移分布圖
128
圖七 位移分布圖
139
圖八 轉速-自然頻率曲線圖
130
圖九 轉速-自然頻率曲線圖
131
圖十 轉速-自然頻率曲線圖
132
圖十一 轉速-自然頻率曲線圖
133
圖十二 轉速-自然頻率曲線圖
134
圖十三 轉速-自然頻率曲線圖
135
圖十四 轉速-自然頻率曲線圖
136
圖十五 轉速-自然頻率曲線圖
137
圖十六 轉速-自然頻率曲線圖
138
圖十七 轉速-自然頻率曲線圖
………. 139
圖十八 轉速-自然頻率曲線圖
.. 140
圖十九 轉速-自然頻率曲線圖
.. 141
圖二十 轉速-自然頻率曲線圖
.. 142
圖二十一 轉速-自然頻率曲線圖
.. 143
圖二十二 轉速-自然頻率曲線圖
.. 144
圖二十三 振動模態圖
145
圖二十四 振動模態圖
146
圖二十五 振動模態圖
147
圖二十六 振動模態圖
148
圖二十七 振動模態圖
149
圖二十八 振動模態圖
150
圖二十九 振動模態圖
151
圖三十 振動模態圖
152
圖三十一 振動模態圖
153
圖三十二 振動模態圖
154
圖三十三 振動模態圖
155
圖三十四 振動模態圖
156
圖三十五 振動模態圖
157
圖三十六 振動模態圖
158
圖三十七 振動模態圖
159
圖三十八 振動模態圖
160
圖三十九 振動模態圖
161
圖四十 振動模態圖
162
圖四十一 振動模態圖
163
圖四十二 振動模態圖
164
圖四十三 在不同轉速下的振態
165
圖四十四 在不同轉速下的振態
166
圖四十五 在不同轉速下的振態
167
圖四十六 在不同轉速下的振態
168
圖四十七 設定角-自然頻率曲線圖
169
圖四十八 設定角-自然頻率曲線圖
170
圖四十九 設定角-自然頻率曲線圖
171
圖五十 設定角-自然頻率曲線圖
172
圖五十一 設定角-自然頻率曲線圖
173
圖五十二 設定角-自然頻率曲線圖
174
圖五十三 設定角-自然頻率曲線圖
175
圖五十四 設定角-自然頻率曲線圖
176
參 考 文 獻
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