# 臺灣博碩士論文加值系統

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 旋轉三維Euler梁之振動分析 研究生：何其昌 指導教授：蕭國模 博士 國立交通大學機械工程學系碩士班 摘要 本研究主要是利用共旋轉法來推導雙對稱三維Euler旋轉梁的運動方程式，並探討三維旋轉梁振動的自然頻率。旋轉梁存在一個穩態，本文中的振動是指基於穩態的微小振動。 本文利用非線性梁理論的一致線性化、d''Alembert原理和虛功原理在旋轉元素座標上推導梁元素的節點變形力和節點慣性力。在推導過程中保留穩態變形的節點參數和其微分到二次項以及扭率的三次項，而振動部份保留節點參數和其微分到一次項。 本文利用基於牛頓法的增量迭代法求解穩態變形，並使用二分法來求取Euler旋轉梁的自然頻率。本文最後以數值例題來驗證所提數值方法的正確性和效能，並探討不同斷面、不同長度、不同轉速及不同設定角對旋轉梁自然頻率的影響，並與文獻中Timoshenko梁比較。
 Free Vibration Analysis of Three Dimensional Rotating Euler beam Student : Chi-Chang Ho Advisor : Dr. Kuo-Mo Hsiao Department of Mechanical Engineering National Chiao Tung University Abstract The equations of motion for the doubly symmetric three dimensional rotating Euler beam is derived using a co-rotational total Lagrangian finite element formulation combined with rotating frame method.The natural frequency of the infinitesimal free vibration of the rotating beam measured from the position of the steady-state deformation of rotating beam is investigated. Both the element deformation nodal forces and inertia nodal forces are systematically derived by consistent linearization of the fully geometrically non-linear beam theory using the d''Alembert principle and the virtual work principle in the current rotating element coordinates. The terms up to the second order of nodal parameters, their spatial derivatives, and the third order term of twist rate corresponding to the steady-state deformations are all retained. However, only the terms up to the first order of nodal parameters, and their spatial derivatives and time derivatives corresponding to the free vibration are retained. An incremental-iterative method based on the Newton-Raphson method is employed to solve the steady-state deformation. A bisection method is employed to determine natural frequencies of the rotating Euler beam. Numerical examples are studied to demonstrate the accuracy and efficiency of the proposed method and to investigate the effect of angular velocities, setting angles, cross sections and slenderness ratios of the beam on the natural frequency of the rotating beams.
 目 錄 中文摘要 Ⅰ 英文摘要 Ⅱ 誌謝 Ⅲ 目錄 IV 表目錄 Ⅶ 圖目錄 ⅩⅥ 第一章 緒論 1 第二章 理論推導 5 2.1 問題描述 5 2.2 基本假設 5 2.3 座標系統描述 5 2.4 旋轉向量 6 2.5 Euler梁的變形描述 6 2.6 梁的應變、速度、加速度及梁的位置向量 的變分、應變的變分 9 2.6.1 梁的應變 9 2.6.2 梁的速度與加速度 10 2.6.3 梁之位置向量的變分及應變的變分 12 2.7 元素節點參數及節點力 14 2.8 元素節點內力之推導 15 2.8.1 應力所做的虛功 15 2.8.2 慣性力所做的虛功 18 2.8.3 外力所做的虛功 19 2.8.4 元素節點內力 20 2.8.5 系統的運動方程式 22 第三章 穩態與振動分析 23 3.1 旋轉梁的穩態平衡方程式 23 3.2 旋轉梁的振動方程式 23 3.3 元素剛度矩陣及質量矩陣 26 3.4 無因次化 33 第四章 數值計算方法與程序 36 4.1穩態解 36 4.1.1增量迭代之數值計算方法 36 4.1.2 數值程序 38 4.2振動分析 38 第五章 數值例題 41 5.1 元素A與元素B的比較…………………………………………………. 42 5.2 收斂分析 42 5.3 旋轉梁的自然頻率 43 5.4 Euler梁與Timoshenko梁的比較.…………………………………………. 44 5.5自由翹曲(Warping free)與抑制翹曲(Warping restraint)對自然 頻率的影響 45 5.6 對振動頻率的影響 45 5.7 設定角對自然頻率的影響 46 5.8 三維與二維旋轉梁的比較 46 第六章 結論與展望 48 參考文獻 50 附表 53 附圖 123 附錄A Galerkin 法求穩態方程式的無因次化結果 177 附錄B 斷面常數 179 附錄C 不均勻元素網格 183 附錄D 自然頻率之解析解 184 表目錄 表一 元素A與元素B穩態解的比較 ( ) 53 表二 元素A與元素B振動頻率的比較 ( ) 54 表三 旋轉梁在不同元素數目下振動頻率的收斂分析 ( Ellipse Section ) 55 表四 旋轉梁在不同元素數目下振動頻率的收斂分析 ( Ellipse Section ) 56 表五 旋轉梁在不同元素數目下振動頻率的收斂分析 ( I Section ) 57 表六 旋轉梁在不同元素數目下振動頻率的收斂分析 ( I Section ) 58 表七 旋轉梁在不同元素數目下振動頻率的收斂分析 ( Cruciform Section )……………….………… 59 表八 旋轉梁在不同元素數目下振動頻率的收斂分析 ( Cruciform Section ) 60 表九 三維梁自然頻率之有限算法數值解與解析解之比較 61 表十 旋轉橢圓斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率 62 表十一 旋轉橢圓斷面Euler梁(Warping Free)在不同轉速及設定角下的振動頻率 63 表十二 旋轉橢圓斷面Timoshenko梁在不同轉速及設定角下的振動頻率 64 表十三 旋轉橢圓斷面Timoshenko梁(Warping Free)在不同轉速及下的振設定角動 頻率 ………………..…...…. 65 表十四 旋轉橢圓斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率 66 表十五 旋轉橢圓斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率 67 表十六 旋轉橢圓斷面Euler梁(R=1)在不同轉速及設定角下的振動頻率 68 表十七 旋轉橢圓斷面Euler梁(R=2)在不同轉速及設定角下的振動頻率 69 表十八 旋轉橢圓斷面Timoshenko梁(R=1)在不同轉速及設定角下的振動頻率 70 表十九 旋轉橢圓斷面Timoshenko梁(R=2)在不同轉速及設定角下的振動頻率 .……………..……. 71 表二十 旋轉橢圓斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率 72 表二十一 旋轉橢圓斷面Euler梁(Warping Free)在不同轉速及設定角下的振動頻率 73 表二十二 旋轉橢圓斷面Timoshenko梁在不同轉速及設定角下的振動頻率 74 表二十三 旋轉橢圓斷面Timoshenko梁(Warping Free)在不同轉速及設定角下的振 動頻率 75 表二十四 旋轉橢圓斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率 76 表二十五 旋轉橢圓斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率 77 表二十六 旋轉橢圓斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率 78 表二十七 旋轉橢圓斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率 79 表二十八 旋轉橢圓斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率 80 表二十九 旋轉橢圓斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率 81 表三十 旋轉橢圓斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率 82 表三十一 旋轉橢圓斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率 83 表三十二 旋轉I型斷面Euler梁在不同轉速不同設定角下的振動頻率 84 表三十三 旋轉I型斷面Euler梁(Warping Free)在不同轉速不同設定角下的振動頻 率 85 表三十四 旋轉I型斷面Timoshenko梁在不同轉速不同設定角下的振動頻率 86 表三十五 旋轉I型斷面Timoshenko梁(Warping Free)在不同轉速不同設定角下的 振動頻率 87 表三十六 旋轉I型斷面Euler梁在不同轉速不同設定角下的振動頻率 88 表三十七 旋轉I型斷面Timoshenko梁在不同轉速不同設定角下的振動頻率 89 表三十八 旋轉I型斷面Euler梁在不同轉速不同設定角下的振動頻率 90 表三十九 旋轉I型斷面Euler梁在不同轉速不同設定角下的振動頻率 ……………………………………………………….……………… 91 表四十 旋轉I型斷面Euler梁(Warping Free)在不同轉速不同設定角下的振動頻率 …………………………………………………………………….…. 92 表四十一 旋轉I型斷面Timoshenko梁在不同轉速不同設定角下的振動頻率 ………………………………………………………………………… 93 表四十二 旋轉I型斷面Timoshenko梁(Warping Free)在不同轉速不同設定角下的 振動頻率 ………………………………………………………….……………. 94 表四十三 旋轉I型斷面Euler梁在不同轉速不同設定角下的振動頻率 95 表四十四 旋轉I型斷面Euler梁在不同轉速不同設定角下的振動頻率 96 表四十五 旋轉I型斷面Euler梁在不同轉速不同設定角下的振動頻率 97 表四十六 旋轉I型斷面Euler梁在不同轉速不同設定角下的振動頻率 98 表四十七 旋轉十字斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率 99 表四十八 旋轉十字斷面Euler梁(Warping Free)在不同轉速及設定角下的振動頻率 100 表四十九 旋轉十字斷面Timoshenko梁在不同轉速及設定角下的振動頻率 101 表五十 旋轉十字斷面Timoshenko梁(Warping Free)在不同轉速及設定角下的振動 頻率 102 表五十一 旋轉十字斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率 103 表五十二 旋轉十字斷面Timoshenko梁在不同轉速及設定角下的振動頻率 104 表五十三 旋轉十字斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率 105 表五十四 旋轉十字斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率 106 表五十五 旋轉十字斷面Euler梁(Warping Free)在不同轉速及設定角下的振動頻率 107 表五十六 旋轉十字斷面Timoshenko梁在不同轉速及設定角下的振動頻率 108 表五十七 旋轉十字斷面Timoshenko梁(Warping Free)在不同轉速及設定角下的振 動頻率 109 表五十八 旋轉十字斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率 110 表五十九 旋轉十字斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率 111 表六十 旋轉十字斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率 112 表六十一 旋轉十字斷面Euler梁在不同轉速及設定角下的振動頻率 113 表六十二 旋轉梁設定角對自然頻率的影響 114 表六十三 旋轉梁設定角對自然頻率的影響 115 表六十四 旋轉梁設定角對自然頻率的影響 116 表六十五 旋轉梁設定角對自然頻率的影響 117 表六十六 旋轉梁設定角對自然頻率的影響 118 表六十七 旋轉梁設定角對自然頻率的影響 119 表六十八 旋轉梁設定角對自然頻率的影響 120 表六十九 旋轉梁設定角對自然頻率的影響 121 表七十 三維與二維旋轉梁的自然頻率之數值比較 122 圖目錄 圖一 旋轉梁之三視圖 123 圖二 旋轉Timoshenko梁之位移及座標系統 124 圖三 旋轉向量圖 125 圖四 梁的斷面圖 126 圖五 位移分布圖 127 圖六 位移分布圖 128 圖七 位移分布圖 139 圖八 轉速-自然頻率曲線圖 130 圖九 轉速-自然頻率曲線圖 131 圖十 轉速-自然頻率曲線圖 132 圖十一 轉速-自然頻率曲線圖 133 圖十二 轉速-自然頻率曲線圖 134 圖十三 轉速-自然頻率曲線圖 135 圖十四 轉速-自然頻率曲線圖 136 圖十五 轉速-自然頻率曲線圖 137 圖十六 轉速-自然頻率曲線圖 138 圖十七 轉速-自然頻率曲線圖 ………. 139 圖十八 轉速-自然頻率曲線圖 .. 140 圖十九 轉速-自然頻率曲線圖 .. 141 圖二十 轉速-自然頻率曲線圖 .. 142 圖二十一 轉速-自然頻率曲線圖 .. 143 圖二十二 轉速-自然頻率曲線圖 .. 144 圖二十三 振動模態圖 145 圖二十四 振動模態圖 146 圖二十五 振動模態圖 147 圖二十六 振動模態圖 148 圖二十七 振動模態圖 149 圖二十八 振動模態圖 150 圖二十九 振動模態圖 151 圖三十 振動模態圖 152 圖三十一 振動模態圖 153 圖三十二 振動模態圖 154 圖三十三 振動模態圖 155 圖三十四 振動模態圖 156 圖三十五 振動模態圖 157 圖三十六 振動模態圖 158 圖三十七 振動模態圖 159 圖三十八 振動模態圖 160 圖三十九 振動模態圖 161 圖四十 振動模態圖 162 圖四十一 振動模態圖 163 圖四十二 振動模態圖 164 圖四十三 在不同轉速下的振態 165 圖四十四 在不同轉速下的振態 166 圖四十五 在不同轉速下的振態 167 圖四十六 在不同轉速下的振態 168 圖四十七 設定角-自然頻率曲線圖 169 圖四十八 設定角-自然頻率曲線圖 170 圖四十九 設定角-自然頻率曲線圖 171 圖五十 設定角-自然頻率曲線圖 172 圖五十一 設定角-自然頻率曲線圖 173 圖五十二 設定角-自然頻率曲線圖 174 圖五十三 設定角-自然頻率曲線圖 175 圖五十四 設定角-自然頻率曲線圖 176
 參 考 文 獻1. Leissa A. * “Vibrational Aspects of Rotating Turbomachinery Blades*” ASME Applied Mecanics Reviews* 34* pp. 629-635,1981.2. Ramamurti V. and Balasubramanian P. * “Analysis of Turbomachinery Blades - A Review*” The Shock and Vibration Digest* 16* pp. 13-28* 1984.3. Schilhansl M. J. * “Bending Frequency of a Rotating Cantilever Beam*” ASME Journal of Applied Mechanics* 25* pp. 28-30* 1958.4. Krupka R. M. and Baumanis A. M. * “Bending-Benging Mode of a Rotating Tapered-Twisted Turbomachine Blade Including Rotatory Inertia and Shear Deformation*” ASME Journal of Engineering for Industry* 91* No.4, pp. 1017-1024* 1969.5. Yokoyama T. * “Free Vibration Characteristics of Rotating Timoshenko Beam*” International Journal of Mechanical Science* 30* No. 10* pp. 743-755, 1988.6. Lee S. Y. and Kuo Y. H. * “Bending Frequency of a Rotating Beam with an Elastically Restrained Root*” ASME Journal of Applied Mechanics* 58* pp. 209-214* 1991.7. Lee S. Y. and Lin S. M. * “Bending Vibration of Rotating Nonuniform Timoshenko Beams with an Elastically Restrained Root*” ASME Journal of Applied Mechanics* 61, pp. 949-955, 1994.8. Kammer D. C. and A. L. Schlack, Jr. , “Critical Spin Rate of Rotating Beams by Liapunov’s Direct Method*” Journal of Vibration, Acoustics, Stress, and Reliability in Design, 108, pp. 389-393, 1986.9. Eick C. D. and Mignolet M. P., “Vibration and Buckling of Flexible Rotating Beams, ” AIAA Journal* 33, No. 3, pp. 528-538, 1995.10. Fox C. H. J. and Burdess J. S., “The Natural Frequencies of A Thin Rotating Cantilever With Offset Root, ” Journal of Sound and Vibration* 65, No. 2* pp. 151-158* 1979.11. Baur F. and Eidel W. * “Vibration of A Rotating Uniform Beam, Part II : Orientation Perpendicular To The Axis of Rotation*” Journal of Sound and Vibration* 122. No. 2* pp. 357-375* 1988.12. Subrahmanyam K. B., and Kaza K. R. V., “Vibration and Buckling of Rotating, Pretwisted, Preconed Beams Including Coriolis Effects”, Journal of Vibration, Acoustics, Stress, and Reliability in Design, ASME, 108, pp. 140-149, 1986.13. 洪船島, “旋轉梁結構之振動分析 *” 國立交通大學機械工程研究所,碩士論文, 臺灣, 新竹, 1998.14. 周志芳, “旋轉梁之自由振動的級數解法 *” 國立交通大學機械工程研究所,碩士論文, 臺灣, 新竹, 1999.15. 胡聖楊, “具端點彈性支承及質量之旋轉梁的自由振動及挫屈, ” 國立交通大學機械工程研究所, 碩士論文, 台灣, 新竹, 1999.16. 黃建志, “旋轉三維Timoshenko梁之運動方程式及穩態解 ,” 國立交通大學機械工程研究所, 碩士論文, 台灣, 新竹, 2000.17. 黃智傑, “旋轉三維Timoshenko梁之振動分析 ,” 國立交通大學機械工程研究所, 碩士論文, 台灣, 新竹, 2001.18. Simo J. C. and Vu-Quac L. * “The Role of Non-Linear Theories in Transient Dynamic Analysis of Flexible Structures*” Journal of Sound and Vibration* 119, No. 3* pp. 487-508* 1987.19. Peter W. Likins, and Frank J. Barbera, and Victor Baddeley , “Mathematical Modeling of Spinning Elastic Bodies for Modal Analysis”, AIAA Journal, 11, pp. 1251-1258, No. 9, 1973.20. Hsiao K. M., “Corotational Total Lagrangian Formulation for Three-Dimensional Beam Element,” AIAA Journal, 30, No. 3, pp. 797-804, 1992.21. Hsiao K. M., Lin J. Y., “A Consistant Co-rotational Finite Element Formulation for Geometrically Nonlinear Dynamic Analysis of 3-D Beams”, Comput. Method Appl. Mech. Engng., 169, pp. 1-18, 1999.22. Hsiao K. M., Lin J. Y., “Co-rotational formulation for geometric nonlinear analysis of doubly symmetric thin-walled beams”,Computer methods in applied mechanics and gineering , 190, pp. 6023-6052 , 200123. Timoshenko S. , Strength of Materials, Part II: Advanced Theory and Problems, D. Van Nostrand Co., Inc. N. J., 1956.24. Gregory M. , “A Nonlinear Bending Effect When Certain Unsymmetical Sections are Subjected to a Pure Torque”, Australian J. Appl. Sci., Vol. 11, 1960, pp. 33-48.25. Hsiao K. M., and Lin W. I., “A Second Order Beam Theory,” Proceedings of The Fourth World Congress on Computational Mechanics, Buenos Aires, Argentina, 1998.26. Goldstein H., Classical Mechanics, Addision-Wwsley, PublishingCompany, 1980.
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 1 五軸工具機高速進給機構設計與改良 2 旋轉梁結構之振動分析 3 旋轉三維Timoshenko梁之振動分析 4 旋轉三維Timoshenko梁之運動方程式及穩態解 5 以有限元素法分析三維旋轉傾斜尤拉梁的穩態變形與自由振動 6 以有限元素法分析具預錐角之三維旋轉傾斜尤拉梁的穩態變形與自由振動

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