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研究生:廖瑞聰
研究生(外文):Ruey-Tsong Liaw
論文名稱:二次項效應混合型牛頓疊代法之研究
論文名稱(外文):二次項效應混合型牛頓疊代法之研究
指導教授:李顯智李顯智引用關係
指導教授(外文):Hin-Chi Lei
學位類別:碩士
校院名稱:國立中央大學
系所名稱:土木工程研究所
學門:工程學門
學類:土木工程學類
論文種類:學術論文
論文出版年:2002
畢業學年度:90
語文別:中文
論文頁數:100
中文關鍵詞:二次項效應混合型牛頓疊代法非線性方程組疊代解法數值分析牛頓法
外文關鍵詞:Newton-Raphson methodBroyden’s methodNumerical Methodmixed-type method
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摘 要
一般在工程上,遇到要處理非線性方程組時,大都採用牛頓-拉夫森法(Newton-Raphson method)來處理,但除了用牛頓-拉夫森法,其實有更多的有效率的方法可以來處理非線性方程組的問題。本研究的目的在於探討牛頓型迭代法加入二次項的效應配合牛頓-拉夫森法混合應用的混合型迭代法的探討;除了混合型迭代法的探討外,再介紹Broyden擬牛頓法(Broyden’s method)和共軛梯度法的應用和探討。以助於工程界在處理非線性方程組問題時,有更多元的選擇空間,做更有效率的處理。
本研究將針對混合型迭代法,Broyden擬牛頓法和共軛梯度法對不同方程式進行一系列探討,主要探討內容為:
(1)、各法迭代次數的比較。
(2)、各法迭代cpu時間的比較。
(3)、不同類型方程式對各法的改良比的比較。
(4)、混合型迭代法切換參數的研究。


Abstract
In general, most people deal with the nonlinear equations by the Newton-Raphson method. Besides the Newton-Raphson method,there are other effective methods can be used to solve the problems of nonlinear equations. The goal of this research is to investigate the method which takes the second order terms into the Newton-Raphson method. Besides research of the mixed-type method, Broyden’s method will alse be introduced to slove equations.
This research will focus on the investigation between mixed-type method 、Broyden’s method and conjugate gradient method to different equations. The main issues are:
1.To study the numbers of iterations of each method.
2.To compare CPU time of iterations of each method.
3.The comparison of different kinds of equations treated by different methods.
4.The research on the mixed-type method for different switching parameters.


目 錄
摘 要I
ABSTRACTII
目 錄III
圖表目錄VI
第一章 緒論1
1-1 研究動機與目的1
1-2 文獻回顧3
1-2-1 牛頓-拉夫森法4
1-2-2 正割法(Secant method)5
1-2-3 Broyden’s method7
1-2-4 共軛梯度法9
1-3 論文研究內容10
第二章 理論推導與定義12
2-1 基本理論推導12
2-1-1 牛頓-拉夫森法(Newton-Raphson method)的基本推導12
2-1-2 早差分法的基本推導14
2-2 混合型迭代法的機制17
2-3 誤差、收斂判斷及切換參數的定義23
2-3-1 誤差的定義23
2-3-2 收斂判斷24
2-3-3 切換參數的定義25
第三章 混合型迭代法的比較27
3-1 牛頓-拉夫森法與早差分法在程式進行中的機制27
3-2 改良比的定義29
3-3 探討類型(一)30
3-4 探討類型(二)47
3-5 探討類型(三)56
3-6 探討類型(四)60
3-7 最陡下降法與BROYDEN 擬牛頓法之探討64
第四章 收斂判斷(誤差)、收斂性及切換參數探討71
4-1 收斂判斷(誤差)之探討71
4-1-1 精度大小對各個改良法迭代次數與時間的探討72
4-1-2 Broyden 擬牛頓法收斂判斷之探討76
4-2 收斂性之探討79
4-3 混合型迭代切換參數探討83
第五章 結論與建議88
參 考 文 獻91
附錄(一)94


參 考 文 獻1.Allgower E. and Georg K., Simplical and continuation method for approximation fixed points and solutions to systems of equations . SIAM Review , vol.22,pp. 28-84 (1980). 2.Brent R.P., Some efficient algorithms for solving systems of nonlinear equations .SIAM J. Numer. Anal. ,vol.10,pp. 327-344 (1873). 3.Broyden C.G.. , A new double-rank minimization algorithm , Notice Amer . Math. Soc. ,vol. 16,pp.670 (1969).4.Broyden C.G.. ,A class of methods for solving nonlinear simultaneous equations,Math.Comp.,vol.19,pp.577-593 (1965).5.Brown K.M., A quadratically convergent method for solving simultaneous nonlinear equations. Ph.D. Diss. , Purdue U., Lafayette , Ind.,(1966).6.Brown K.M. and Dennis J.E., On the second order convergence of Brown’s derivative —free method for solving simultaneous nonlinear equations. Tech. Rep. 71-7, Dept. Comptr. Sci., Yale U. New Haven,CONN., (1971). 7.Dennis J.E. and More J.J., Quasi-Newton methods , matiration and theory. SIAM Review, vol.19,pp. 46-89 (1977).8.Flether R., A new approach to variable metric algorithms, Comput. J. ,vol.13,pp. 317-322 (1970). 9.Gay D.M., Brown’s method and some generalizations , with applications to minimization problems. Ph. D. Diss., Cornell U. Ithaca N.Y.,(1975). 10.Goldford D., A family of variable metric methods derived by variational means , Math.Comp., vol.24, pp. 23-26 (1970).11.Hirlch M.W. and Small S., On the algorithm for solving equation f(x)=0.Comm.pure Appl.Math.,vol.32,pp.281-312 (1979). 12.Kuo S.S., Computer applications of numerical methods, Additions-Wesley Pub. Co., (1972). 13.More J.J. and Cosnard M.Y., Numerical solution of nonlinear equations . ACM Trans. Math. Software , vol.5,pp.64-85(1979). 14.Shamo D.F.,Conditioning of Quasi-Newton methods for function minimization,Math.Comp.,vol.24, pp.647-656 (1970).15.Schroder , Ueber unendlich viele Aalgorithm zur aufloesung der Gleichungen . Math. Ann.,vol. 2,pp. 317-365 (1870).16.Shoichiro Nakamura ,Applied numerical merhods with software . Prentice-Hall,Inc.,(1991).17.Traub J.F., Iterative methods for the solutions of equations . Chelsea Pub. Co. , New York ,(1964). 18.林聰悟,「工程基本程式」,新學識文教出本中心(1981)。19.林義昌,「牛頓型方法二次微分效應」,碩士論文,國立中央大學土木工程研究所,中壢(1999)。20.周宏勳,「牛頓型疊代法二次項效應」,碩士論文,國立中央大學土木工程研究所,中壢(2000)。21.陳祺源,「計算塑性力學的新方法」,碩士論文,國立中央大學土木工程研究所,中壢(1994)。22.馮果忱,「非線性方程組疊代解法」,上海科學技術出版社,上海(1986)。23.錢金麟譯,「數值分析應用」,新智出版社,(1985)。24.戴義國、蔡新春,「數值分析」,大揚出版社,(1989)。

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