# 臺灣博碩士論文加值系統

(3.90.139.113) 您好！臺灣時間：2022/01/16 18:56

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 這篇論文是整理GL(2,F_q)的不可分解的群表現有哪些。為了做這些事情，我們必須要先知道一些關於有限群的表現理論之基本知識。所以我們敘述了一些關於關於有限群的表現理論在第二章，關於這部分的定理，我們都不給予證明，但你可以參考Serre’s book Complex Representations of Finite Groups。接著，我們就開始去找GL(2,F_q)的不可分解的群表現，我們試著用一些比較自然的方法去找。我們用一維的射影空間來做，因為我們知道GL(2,F_q)作用在P(F_q)上有雙重可遞移性(doubly transitive)。更進一步的計算，我們知道排列的群表現對應到P(F_q)可以分解成一個一維跟一個q 維的不可分解的群表現。接著，我們想要用Frobenius method of induced representation來造GL(2,F_q)的群表現， 所以我們開始去找有哪些重要的子群，然後在知道這些子群的群表現，在這個過程中我們會用到一個重要的方法叫做Method of Little Group。最後，我們把不是這些方式做出來的群表現叫做Cuspidal representation。在這裡， 我們需要知道有關於cuspidal representation 的性質。
 This paper is a collation of all irreducible representations of GL(2, F_q). In order to dothis, we need the basic knowledge about finite group representations. We arrange thebasic understanding about finite group representations in §2. We state the basic resultswithout proofs from Serre’s book on complex representations of finite groups [2]. For theproofs of all these results in §2, we refer to Serre’s book [2].In §3, we start to find irreducible representations of GL(2, F_q). We use the projectiveline P(F_q) throught out the work. We can findq − 1 one-dimensional and q − 1q-dimensional irreducible representations ofGL(2, F_q). The part we refer to the paper[5]and Fulton’s book [7]. In §4, we use Frobenius method of induced representation whichenables one to construct a representation of a group if a an irreducible representation of asubgroup is known. We use characters of Borel subgroup of GL(2, F_q) induces representationsof GL(2, F_q). In §5, we bring in Cuspidal representation of GL(2, F_q). We canconstruct other irreducible representations ofGL(2, F_q) by using cuspidal representation.
 1 Introduction2 Basic About Finite Group Representations3 Irreducible Representations from Permutation Representation4 Borel Subgroup5 Cuspidal Representation
 [1] Ilya Piatetski-Shapiro, Complex Representations of GL(2,K) for Finite Fields, Contemporary Mathematics 16, American Mathematical Society, 1983.[2] Jean-Pierre Serre, Linear Representations of Finite Groups, Springer- Verlag, New York, 1977.[3] J.L. Alpherin, Groups and Representations, Springer-Verlag, New York, 1995.[4] Hua-Chien Li, A Note on Complex Representations of GL(2, F_q).[5] Robert Steingerg The Representations of GL(2, F_q), GL(3, F_q), PGL(3, F_q), And PGL(3, F_q), Canadian J. Math. 3, (1951), 225—235.[6] Serge Lang, Algebra, Addison-Wesley Pub. Co., Advanced Book Program , 1984.[7] William Fulton and Joe Harris , Representation Theory, Springer-Verlag, 1991.
 國圖紙本論文
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