# 臺灣博碩士論文加值系統

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 摘 要 本研究旨在從國中二年級學生所作函數概念解題的分析中，探索其存在的錯誤函數概念以及解題時所呈的解題策略，更進一步地從所收集的資料中探討學生對於函數概念理解方面的困難。 研究者選取台中縣大欣（化名）國中二年級學生五班，共182人，實施函數概念解題測驗，有效試卷為169份。根據學生的作答逐題分析，歸納出學生存在的正確與錯誤的函數概念，以及解題時出現的解題策略；再針對作答表現特殊的學生進行晤談，進一步了解受試者對於函數概念的理解情形。 研究發現： 一、 受試者存在許多錯誤的函數概念。例如：函數一定要能將兩數變化的關係式表示出來才是函數；函數就是線型函數，所以可以設成一般式為y=ax+b；函數圖形就是直線；不瞭解函數中自變數和應變數的意義和關係，只要有對應，就是函數等。 二、 受試者能運用豐富的解題策略。例如：列表；利用其他相關問題解題或特殊的點檢驗；能採用適當的函數符號表示其關係式，歸納其結果等。 三、 從紙筆資料及晤談分析出受試者在函數概念的理解方面可能遇到的困難有： 1.函數關係式對於部分學生而言，阻礙其理解函數概念中的對應關係。 2.部分學生會混淆自變數和應變數的意義，最後直接背起來，以記憶方式學習，造成函數的對應概念理解困難。 3.學生對於函數概念中特殊的對應缺乏具體的理解，以致於不能在座標平面的圖形觀察出對應的關係，特別是沒有見過的例子。 4.學生先備知識不足，造成新概念理解的障礙。 本研究的結果，除可提供在職教師參考外，亦可針對學生的理解及其特性，作為後續研究的問題。
 Abstract The purpose of this study is to analyze the result of a test done by a group of 8th grade junior high school students on “functions and its associated concepts.” The analysis is focused on typical misconception that students have about function and the problem-solving strategy that students usually use. The result enables the teachers to understand what difficulties students may encounter when trying to understand the concept of function. This study is performed on five classes of 8th graders at Ta-Hsin Junior High School. A total of 182 students participated in this survey, resulting in 169 effective samples, which are adopted in this study. In addition to analyzing the samples, the students were interviewed respectively for further exploring students’ understanding of functions and its associated concepts. From the result of analysis, it can be concluded that, 1. Students typically have various misunderstanding about what constitutes a function. For example, “Function is only a function if it can be presented as an equation;” “Function is a linear equation represented by y = ax + b;” “Function can only be linear and is typically represented as a straight line on coordinates”; furthermore, students cannot distinguish between dependent and independent variables, students feel confused that function has to be a one-to-one mapping between independent and dependent variables.” 2. Students demonstrate a variety of problem-solving methods, and some are quite creative. For example, they tabulated values of a function into a chart, and compared them with domain and range set. Or they used numerical methods, i.e., plotted the function and then determined whether a particular point falls on the function on the graph. Moreover, they derived the original equation from a table of values and then calculated further values. 3. Typical difficulties that students have while understanding functions include: a) Misconception about equations such as y = ax + b may prevent some students from understanding functions. b) Students often memorized the definition without understanding its underlying concepts. The best example is their distinguishing between independent and dependent variables. c) Some students had difficulty in visualizing functions graphically, thereby unable to see the relation by plotting it on a coordinate. d) Insufficient prior knowledge and study of mathematical tools also impeded introducing new concept about function and mappings.
 第壹章 緒論………………………………………1 第一節 問題背景與研究動機……………………………1 第二節 研究目的…………………………………………5 第三節 名詞釋義…………………………………………5 第四節 研究限制…………………………………………8 第貳章 文獻探討………………………………9 第一節 函數概念…………………………………………9 第二節 數學解題的探討…………………………………16 第三節 函數概念相關研究………………………………34 第參章 研究設計與步驟………………………39 第一節 研究方法…………………………………………39 第二節 研究對象…………………………………………41 第三節 研究工具…………………………………………43 第四節 研究步驟…………………………………………48 第肆章 研究結果………………………………51 第一節 錯誤函數概念的分析……………………………51 第二節 解題策略的探討…………………………………76 第三節 綜合討論…………………………………………85 第伍章 結論與建議……………………………91 第一節 結論……………………………………………91 第二節 建議……………………………………………95 參考文獻…………………………………………97 附錄一……………………………………………………………102 附錄二……………………………………………………………108
 參考文獻一、中文部分Gardner, H.著(1991)，陳瓊森、汪益譯（1995）：超越教化的心靈。台北市，遠流。Kilpatrick, J.著（1985），黃敏晃譯（1988）：數學解題的教學。數學傳播，12（2）,p.26-43。Polya著（1961），九章編輯部編譯（1989）：數學的發現（1，2冊）。台北市，九章。Schoenfeld, A. H.著（1980），黃敏晃譯（1987）：解題技能的教學。數學傳播，11（4）,p.2-20。大陸地區現行初級中學數學課本第四冊（初三用）（1995），台北市，九章。古明峰（1998）：數學應用題的解題認知歷程之探討。教育研究資訊6（3）,p.63-77。吳美滿（1998）：波利亞的解題步驟對國中比例單元教學效果之研究。國立台灣師範大學數學研究所碩士論文。吳淑琳（2001）：國中生線型函數概念發展之個案研究。國立台灣師範大學數學研究所碩士論文。林明哲（1990）：國中數學解題行為之分析研究。國立彰化師範大學科學教育研究所碩士論文。林碧珍（1989）：國小學生數學解題的表現及其相關因素的研究。國立台灣師範大學數學研究所碩士論文。邱芳津（1990）：國二資優生線型函數概念之研究。國立彰化師範大學科學教育研究所碩士論文。涂金堂（1995）：國小學生後設認知、數學焦慮與數學解題表現之相關研究。國立高雄師範大學教育研究所碩士論文。涂金堂（1999）：後設認知理論對數學解題教學的啟示。教育研究資訊，7（1）,p.122-137。涂金堂（1999）：國小學生數學解題歷程之分析研究。初等教育學刊，（7）,p.295-332。國民中學數學教師手冊第三冊（1999）：國立編譯館主編，部編本國民中學教科用書印行處印行。國民中學數學課本第三冊（1999）：國立編譯館主編，部編本國民中學教科用書印行處印行。張春興（1989）：張氏心理學辭典。台北市，東華書局。張惠博（1986）：國中學生應用基礎的函數概念於物理實驗數據處理能力之研究。科學教育學報，（11）,p.493-522。曹博盛（1998）：國中數學及自然科學生活化實驗設計學習模組的研究開發與推廣計劃─數學科。台北：台灣師大科學教育中心。陳正賢（1990）：職前教師數學解題情意因素之研究。國立彰化師範大學科學教育研究所碩士論文。陳建蒼（2001）：高一學生對數函數概念層次教學成效研究。國立高雄師範大學數學研究所碩士論文。陳密桃（1990）：國民中小學的後設認知及其與閱讀理解之相關研究。國立政治大學教育研究所博士論文。黃幸美（2001）：兒童在數學問題上的類比推理思考之研究。國立政治大學教育研究所。楊坤原（1999）：問題解決在科學學習成就評量上的應用。科學教育月刊，（216），p.3-16。劉秋木（1996）：國小數學科教學研究，台北市，五南出版社。蕭見文（1996）：數學解題教學策略之研究。教育學刊，367-399。謝豐瑞、陳材河（1997）：函數的一生，科學教育月刊。台北：台灣師大科學教育中心。顏啟麟、陳昭地（1993）：國中生函數概念認知發展與教學之研究。N(S)820111S0030120130-82v1v2。譚寧君（1992）：兒童數學態度與解題能力之分析探討。台北師院學報，第五期，p.619-688。二、英文部分Charles, R., & Lester, F. K. (1982). An evaluation of a process-oriented instructional program in mathematical problem-solving in grades 5 and 7.Journal for Research in Mathematics Education, 15, 15-34.David, S.(1994). Conceptions of the effect of graphing calculators on students’ function. Paper presented at the Annual Meeting of the American Educational Research Association. New Orleans, LA.Davidson, P. M. (1987). Early function concepts: Their development and relation to certain mathematical and logical abilities. Child Development, 58, 1542-1555.Flavell, J. H. (1976). Metacognitive aspects of problem solving. In L. Resbuck(Ed.), The Nature of Intelligence（pp. 231-235）. Hillsdale, NJ: Erlbaum.Gagne, R. M. (1985). The conditions of learning(4thed.). New York: Holt, Rinehart and Winston.Gagne, E. D., Yekovich, C.W.,& Yekovich, F.R. (1993). The cognitive psychology of school learning(2thed.). New York: Harper Collins College Publishers.Kilpatrick, J. (1985). A retrospective account of the past 25 years of research on teaching mathematical problem solving. Paper presented at silver, E. A. (ED.), Teaching and learning mathematical problem solving: Multiple research perspectives. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.Lovell, K (1971). Some aspects of the growth of the concept of a function. In M. F. Rosskopf, L.P. Steffe, & S. Taback (Eds. ), Piagian cognitive-development research and mathematical education（pp. 12-33）. Washington, DC: National Council of Teachers of Mathematics.Lester, F. K. (1980a). Research in mathematical problem solving. In R. Shumway(Ed.), Research in Mathematics Education. Reston,VA:National Council of Teachers of Mathematic.Lester, F. K. (1980b). Research on mathematics Problem solving. In R.J. Shumway.(Ed.), Research in mathematics Education, 286-318. NCTM.Mason. J., Burton, L. & Stacey, K (1989). Thinking mathematically. Working ham: Addison-Wesley.Mayer, R. E.(1992). Thinking, problem solving, cognition(2nded.). New York: W. H. Freeman and Company.Mayer, R. E. (1985). Implications of cognitive psychology for instruction in mathematical problem solving. In E. A. Sliver(Ed.), Teaching and learning mathematical problem solving: Multiple research perspectives, （pp. 123-138）. Hillsdale, NJ: Lawrence, Erlbraum.NCTM. (1989). Curriculum and Evaluation standards for School Mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.Smith, M. U. (1991). Toward a unified theory of problem solving. New Jersey : LEA Publishers.Thomas, (1975). The concept of function. In M. F. Rosskopf (Ed.), Children,s mathematical concepts: Six Piagetian studies in mathematics education. New York: Teachers College Press.Vinner, S., &Dreyfus, T. (1989). Images and definitions for the concept of function. Journal for Research in Mathematics Education, 20(4), 356-366.Walter szetela(1987). The problem of evaluation in problem solving: Can we find solutions? Arithmetic Teacher, November, 36-41.Yerushalmy, M. (1997). Designing representations: Reasoning about functions of two… Journal for Research in Mathematics Education, 28 (4), 431.
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 1 國小學生後設認知、數學焦慮與數學解題表現之相關研究 2 國小學生數學解題的表現及其相關因素之研究 3 國中學生數學解題行為之分析研究 4 高一學生對數函數概念層次教學成效研究 5 國二資優生線型函數概念之研究 6 兒童在數學問題上的類比推理思考之研究 7 職前教師數學解題情意因素之研究 8 波利亞的解題步驟對國中比例單元教學效果之研究 9 探究網路化動態評量對不同認知風格國中學生數學學習成效影響之研究 10 師院生的函數與方程式概念之研究 11 從開放性的函數教材探討教師的教與學生的學 12 高一學生解反函數問題之研究

 1 蕭見文（1996）：數學解題教學策略之研究。教育學刊，367-399。 2 謝豐瑞、陳材河（1997）：函數的一生，科學教育月刊。台北：台灣師大科學教育中心。 3 楊坤原（1999）：問題解決在科學學習成就評量上的應用。科學教育月刊，（216），p.3-16。 4 古明峰（1998）：數學應用題的解題認知歷程之探討。教育研究資訊6（3）,p.63-77。 5 涂金堂（1999）：後設認知理論對數學解題教學的啟示。教育研究資訊，7（1）,p.122-137。

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