跳到主要內容

臺灣博碩士論文加值系統

(44.197.230.180) 您好!臺灣時間:2022/08/20 14:07
字體大小: 字級放大   字級縮小   預設字形  
回查詢結果 :::

詳目顯示

: 
twitterline
研究生:蔡其南
研究生(外文):Chi-Nan Tsai
論文名稱:變異型態的最小最大定理
論文名稱(外文):VARIANT MINIMAX THEOREMS
指導教授:朱亮儒朱亮儒引用關係
指導教授(外文):Liang-Ju Chu
學位類別:碩士
校院名稱:國立臺灣師範大學
系所名稱:數學研究所
學門:數學及統計學門
學類:數學學類
論文種類:學術論文
論文出版年:2002
畢業學年度:90
語文別:英文
論文頁數:23
中文關鍵詞:連通的t凸性的
外文關鍵詞:connectedt-convexupwardjointly upwardX-quasiconcavelower semicontinuousnono
相關次數:
  • 被引用被引用:0
  • 點閱點閱:147
  • 評分評分:
  • 下載下載:12
  • 收藏至我的研究室書目清單書目收藏:0
所謂兩個函數的最小最大定理(minimax theorem) , 是指在給定的兩個集合$X$ 和 $Y$ 中 , 研究定義在 $X\times Y$ 上的兩個實值函數 $f$ 和 $g$ , 是否可以得到下列不等式
$$\inf_{y\in Y}\sup_{x\in X}f(x,y)\leq \sup_{x\in X}\inf_{y\in Y}g(x,y).$$
此篇論文將做進一步推廣 , 主要的推論有三層 :\ (1) 根據Lin和Yu的研究論文 : Two Functions Generalization of Horvath's
Minimax Theorem, 我們將推廣出一些不需要凸性的最小最大定理.
\vspace{1cm}
(2) 打破一般關於兩個函數的最小最大定理中所規定 $f$ 必須嚴格小於或等於 $g$ 的條件 ,
取而代之的是
$$\sup_{x\in X}f(x,y)\leq \sup_{x\in X}g(x,y),\ \forall\ y\in Y.$$
當然 , 其中的兩個函數需稍作限制 , 包括 : 兩個函數形成聯合向上($jointly\ upward$)
函數關係 , 以及它們所形成的上集合($upper\ set$)必需為連通的$\dots$ 等.
\vspace{1cm}
(3) 有時候在某個定義域上兩個函數的最小最大定理不會成立 ,
但是若在此時稍微限制定義域的範圍後 , 最小最大定理便可以成立了 !
於是我們利用了多值函數的一些性質 , 定義$X$-\ 擬凹集合 ,
推廣出在多值函數上的最小最大定理 , 而得到下列變異型態的最小最大不等式
$$\inf_{y\in T(X)}\sup_{x\in T^{-1}(y)}f(x,y)\leq
\sup_{x\in X}\inf_{y\in T(x)}g(x,y).$$
其中 , $T$ 為由 $X$ 對應到 $Y$ 的多值函數 , $\{g\}$ 則是相應於 $T$
的$X$-\ 擬凹集合.

The socalled minimax theorem means that if $X$ and $Y$ are two sets, and
$f$ and $g$ are two real-valued functions defined on $X\times Y$, under
some conditions the following inequality holds:
$$\inf_{y\in Y}\sup_{x\in X}f(x,y)\leq \sup_{x\in X}\inf_{y\in Y}g(x,y).$$
We will extend the two functions version of minimax theorems. Our purpose
of this paper is three folds:\ (1)According to Lin and Yu's thesis: Two Functions Generalization of Horvath's
Minimax Theorem, we will extend some theorems without convexity.\ (2)Without the condition of usual two functions version of minimax theorem:
$f$ must be strictly lesser or equal to $g$, we replace it by a milder condition:
$$\sup_{x\in X}f(x,y)\leq \sup_{x\in X}g(x,y),\ \forall\ y\in Y.$$
However, we require some restrictions; such as, the functions $f$ and $g$
are {\it jointly upward}, and their upper sets are connected.\ (3)Sometimes on some given region, the two functions version of minimax
theorems is failure.
By use of the properties of multifunctions, we define the {\it X-quasiconcave}
set, so that we can extend the two functions minimax theorem to the
graph of the multifunction. In fact, we get the inequality:
$$\inf_{y\in T(X)}\sup_{x\in T^{-1}(y)}f(x,y)\leq
\sup_{x\in X}\inf_{y\in T(x)}g(x,y),$$
where $T$ is a multifunction from $X$ to $Y$, and $\{g\}$ is a {\it X-quasiconcave}
set of $T$.



\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{Joo}{\bf I. Joo} (1980). {\em A simple proof for von Neumann's
minimax theorem}, Acta Sci. math. {\bf 42}, 91-94.
\bibitem{Horvath}{\bf C. Horvath} (1990). {\em Qulques theorems en theorie des
Mini-Max}, C. R. Acad. Sci. Paris, Serie. I, {\bf 310}, 269-272.
\bibitem{Kim}{\bf Won Kyu Kim} (1995). {\em A non-compact generalization of
Horvath's intersection theorem}, Bull. Korean Math. Soc. {\bf 32}, 153-162.
\bibitem{Bor}{\bf Bor-Luh Lin and Feng-Shuo Yu} (1998).
{\em Two functions generalization of Horvath's minimax theorem},
Kluwer Academic Publisher. Printed in the Netherlands.
\bibitem{Bor1}{\bf Bor-Luh Lin and Feng-Shuo Yu} (1999).
{\em A Two Function Metaminimax Theorem},
Acta Math. Hungar, {\bf 83(1-2)}, 115-123.
\bibitem{Ger1}{\bf M. A. Geraghty and Bor-Luh Lin} (1984).
{\em Topological minimax theorems}, Proc. Amer. Math. Soc.
{\bf 91}, 377-380.
\bibitem{Ter}{\bf F. Terkelsen} (1972).
{\em Some minimax theorems}, Math. Scand.
{\bf 31}, 405-413.
{\bf 31}, 405-413.
\bibitem{Sion}{\bf M. Sion} (1958).
{\em On general minimax theorem}, Pacific J. Math.
{\bf 8}, 171-176.
\bibitem{Fan}{\bf Ky Fan} (1953).
{\em Minimax theorems}, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.
{\bf 39}, 42-47.
\bibitem{Ger2}{\bf M. A. Geraghty and Bor-Luh Lin} (1983).
{\em On a minimax theorem of Terkelsen}, Bull. Inst. Math. Acad. Sinica.
{\bf 11}, 343-347.
\bibitem{Simons}{\bf S. Simons} (1990).
{\em On Terkelsen minimax theorems}, Bull. Inst. Math. Acad. Sinica.
{\bf 18}, 35-39.
\end{thebibliography}



QRCODE
 
 
 
 
 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
第一頁 上一頁 下一頁 最後一頁 top