國小五年級學生面積概念之教學研究
摘 要
本研究是針對國小五年級面積單元，研擬出一套教學方案，採用輔導發現法教學，探討其對國小五年級學童在面積方面的學習，期能導正學生的面積迷失概念。研究方法採用準實驗設計之「不等的前─後測控制組」，分實驗組、控制組兩組進行教學，經教學結束後，以量的分析方式探討實驗組、控制組兩組學生的學習成效，另以質的分析方式探討實驗組、控制組兩組學生在教學前、後面積概念的轉變情況。
主要的研究結果如下：
1. 採用輔導發現法能讓學童在面積概念更進步並產生較好的延宕效果。在後測及追蹤測驗上，實驗組與控制組有顯著差異。
2. 採用輔導發現法，對中下程度學生之「面積初步概念」的學習有較佳的助益。用詹森-內曼法來檢驗其交互作用，在滿分為10分的情況下，對前測分數在8分以下的學生，採用輔導發現法來教學，對學生的學習成效較有助益。
3. 採用輔導發現法，對中下程度學生之「面積保留概念」的學習有較佳的助益且產生較好的延宕效果。用詹森-內曼法來檢驗其交互作用，在滿分為3分的情況下，對前測分數在2分以下的學生，採用輔導發現法來教學，對學生的學習成效及延宕效果都較有助益。
4. 採用輔導發現法能讓學童在「面積測量概念」更進步並產生較好的延宕效果。在後測及追蹤測驗上，實驗組與控制組有顯著差異。
5. 採用輔導發現法能讓學童在「面積估測概念」更進步。在後測上，實驗組與控制組有顯著差異。
6. 輔導發現法或傳統教學法，對學生在「面積初步概念」、「面積估測概念」上之延宕效果差異不顯著。
教學前、後面積迷失概念轉變情形的探討：
1.辨認有否面積的圖形方面，約有二成的學生有迷失的概念，主要是誤認為圖形要正擺且高在鉛直線上或是在水平線上才有面積。
2.基本面積保留概念方面，學童的主要解題策略為：採用「物質不滅」、「合成拼排」、「直覺」、「等量減法」等策略。答錯學童的解題策略為採「視覺」策略，從圖形的長、寬、胖、瘦做為判斷的依據或缺乏等量減法的概念，無法作比較。
3.面積點數方面，主要解題策略為：分合移補、代入公式、注意單位面積。約四成的學生在此部份有迷失概念：對於單位方格非1平方公分時，學生易忽略其單位量，而以1平方公分來計算的迷失概念。單位方格的邊長為2公分時，學生解題時易忽略其提示。
4.單位面積的覆蓋方面，約有四成的學生在做面積切割時，不能自訂合適的單位量來進行面積的切割、覆蓋，或僅用視覺做判斷。
5.單位換算方面，大多數學生的迷失概念為：（1）將長度單位關係和面積單位關係混淆，而認為1平方公尺等於100平方公分、（2）誤認為1平方公尺等於1000平方公分或是1000000平方公分。
6.面積公式應用方面，學生的迷失概念為：（1）誤用面積公式、（2）若題目提供多餘資訊時，學生易受到題目中無關條件的影響、（3）對於同底等高的同類圖形辨別大小，會以圖形的外型來辨識面積的大小、（4）對於複合圖形面積的計算，不會有移補的概念、（5）套錯公式。
7.面積與周長關係了解方面，學生的迷失概念為：（1）將周長與面積所指的部分混淆、（2）誤認為周長會和面積相同、（3）受題目中無關條件的影響，而算錯圖形的周長。
8.畫高能力方面，學生的迷失概念為：對高的概念不清楚，誤認為高一定要在鉛直線上、誤認為所有圖形的高均是從頂點到底的距離。
9.面積估測方面，估測值不在合理值範圍內之學童的主要迷失概念為：（1）對1平方公分和1公分的量感掌握不好、（2）對於不規則圖形面積，大多套用平方公分板來估測面積，但在計算時，會將不滿一格的部分省略不計、（3）缺少1平方公尺的概念，對於大面積的物件會有低估的現象、（4）因缺乏單位換算的概念，認為200平方公分比1平方公尺大的錯誤想法。
最後，提出一些教學、課程、研究方面的建議，提供教師、課程編製者及未來研究的參考。

Abstract
The main purpose of the thesis was to analyze the area of five-graders and design an instructional program in order to correct their misconceptions of area. Teaching methods of guided discovery, to explore its influence on students’ learning of area, and hope can lead the student''s misconceptions of area. The research technique uses the 「quasi-experimental design」 of 「Nonequivalent pretest-posttest control group design」, is divided the experimental group and control group carries on the teaching, had ended the teaching, by quantity analysis way discussion experiment group and control group of students'' study results, in addition use to qualitative analysis way discussion two groups of students learning effect area concept transformation situation of area.
The main findings of this thesis are listed below：
1、 The guided discovery used in the study can improve students’ concept of area and have better delayed effect.
2、 The guided discovery used in the study were more helpful to average-and-below students in the learning of preliminary concept of area.
3、 The guided discovery used in the study were more helpful to average-and-below students in the learning of the conservation concept of area.
4、 The guided discovery used in the study could improve students’ measurement concept of area and have better delayed effect.
5、 The guided discovery used in the study could improve students’ estimation concept of area.
6、 Both guided discovery and traditional teaching method did not show significant difference in students’ preliminary and estimation concepts of square.
The change of misconception after the instruction：
1、 About 20% of students still had problem in distinguishing which pictures surrounded have area, mainly is mistakes for the graph wants to centrally located and height on the vertical line or horizontal line.
2、 In the conservation concept of area, the solution strategies adopted by most students were conservation law, synthesis and arrangement, and intuition. Students who had the wrong answers adopted visual strategy as their solution strategy or did not have this strategy, as a result, could not make correct comparison.
3、 In counting the numbers of area, most students could incorporate part and part, use equation, and pay attention to the unit of square. About 40% of students neglect the units of area especially those that are not 1 cm² of a unit.
4、 In the covering of unit of area, most students could choose picture of the same unit, cutting or judging visually, and then cover them. However, there were still 40% of students still had misconception in doing the covering correctly.
5、 In the change of the units of area, most students knew that 1m² equals to 10000cm² and 1cm² equals to 0.0001m².
6、 In the calculation of area, most students understood the origin of the equation of area calculation and were not influenced by other irrelative conditions.
7、 In the relation of area and circumference, most students who had the right answers could distinguish from each other and could correctly expound the place they indicate.
8、 In the part of drawing height, most students who had the right answers understood that the height of a triangle means the distance between its pinnacle and bottom line and the height of parallelogram and trapezoid means the vertical distance between its two bottom lines.
9、In the estimation of area, some students still had misconception and their estimation did not fall in the reliable range.
Based on the findings of the thesis, some suggestions are made for the instruction, curriculum and future researchers.

目 次
誌 謝 ………………………………………………………
中文摘要 ……………………………………………………… Ⅰ
英文摘要 ……………………………………………………… Ⅲ
目 次 ……………………………………………………… Ⅴ
表 次 ……………………………………………………… Ⅶ
圖 次 ……………………………………………………… Ⅹ
第一章 緒論
第一節 研究背景與動機…………………………………… 1
第二節 研究目的、待答問題與研究假設………………… 3
第三節 名詞定義…………………………………………… 5
第四節 研究限制…………………………………………… 7
第二章 文獻探討
第一節 我國國小課程測量概念的架構…………………… 8
第二節 我國國小學童測量概念發展的研究……………… 14
第三節 面積概念的相關研究……………………………… 15
第四節 學生面積的迷失概念……………………………… 25
第五節 教學法之相關理論………………………………… 34
第三章 研究方法
第一節 研究設計…………………………………………… 47
第二節 研究工具…………………………………………… 51
第三節 研究對象…………………………………………… 55
第四節 研究步驟…………………………………………… 56
第四章 研究結果與討論
第一節 面積概念評量結果分析…………………………… 60
第二節 學生面積概念的提升與轉變的情形……………… 74
第三節 實施輔導發現法對學生的學習影響……………… 129
第五章 結論與建議
第一節 結論………………………………………………… 133
第二節 建議………………………………………………… 138
參考文獻
中文部分……………………………………………………… 141
西文部分……………………………………………………… 146
附錄
附錄一 面積概念試題……………………………………… 149
附錄二 教學活動設計……………………………………… 155
附錄三 實測與估測實作訪談問卷………………………… 205
表 次
表2-1 量概念─面積方面認知發展形成的五個階段……… 9
表2-2 64年版數學科中「面積」教材綱要………………… 10
表2-3 82年版數學科「量與實測」領域內的「面積」教材
綱要………………………………………………… 11
表2-4 數學領域「量與實測」內『面積』教材的能力指標 12
表2-5 64年版、82年版與九年一貫課程數學科課程綱要面
積教材編排上的差異………………………………… 13
表2-6 我國兒童面積測量概念的理解層次………………… 14
表3-1 實驗之設計模式……………………………………… 48
表3-2 實驗組與控制組教材的比較（康軒版）…………… 49
表3-3 面積筆試試題與測量概念之題目細目表…………… 54
表3-4 實驗組與控制組的人數表…………………………… 56
表4-1 實驗組與控制組「前測」平均數與標準誤………… 60
表4-2 實驗組與控制組「後測」平均數與標準誤………… 61
表4-3 兩組學生在「面積概念試卷」後測成績迴歸係數同
質性考驗摘要表……………………………………… 61
表4-4 兩組學生在「面積概念試卷」後測成績之共變數分
析摘要表……………………………………………… 61
表4-5 兩組學生在「面積概念試卷」後測之原始平均數及
調整後的平均數……………………………………… 61
表4-6 兩組學生在後測之「面積初步概念」向度迴歸係數
同質性考驗摘要表…………………………………… 62
表4-7 後測之「面積初步概念」向度兩組組內迴歸線相交
點及差異顯著點……………………………………… 62
表4-8 兩組學生在後測之「面積保留概念」向度迴歸係數
同質性考驗摘要表…………………………………… 64
表4-9 後測之「面積保留概念」向度兩組組內迴歸線相交
點及差異顯著點……………………………………… 64
表4-10 兩組學生在後測之「面積測量概念」向度迴歸係數
同質性考驗摘要表…………………………………… 66
表4-11 兩組學生在「面積測量概念」後測成績之共變數分
析摘要表……………………………………………… 66
表4-12 兩組學生在「面積測量概念」向度之前、後測平均
數及調整後的平均數………………………………… 66
表4-13 兩組學生在後測之「面積估測概念」向度迴歸係數
同質性考驗摘要表…………………………………… 67
表4-14 兩組學生在「面積估測概念」後測得分之共變數分
析摘要表……………………………………………… 67
表4-15 兩組學生在「面積估測概念」向度之前、後測平均
數及調整後的平均數………………………………… 67
表4-16 兩組學生在「追蹤測驗成績」之迴歸係數同質性考
驗摘要表……………………………………………… 68
表4-17 兩組學生在面積試卷測驗「追蹤測驗成績」之共變
數分析摘要表………………………………………… 68
表4-18 兩組學生在前測平均數與「追蹤測驗」之原始及調
整後的平均數………………………………………… 68
表4-19 兩組學生在追蹤測驗之「面積初步概念」向度迴歸
係數同質性考驗摘要表……………………………… 69
表4-20 兩組學生在「面積初步概念」追蹤測驗得分之共變
數分析摘要表………………………………………… 69
表4-21 兩組學生在「面積初步概念」向度之前測、追蹤測
驗平均數及調整後的平均數………………………… 69
表4-22 兩組學生在追蹤測驗之「面積保留概念」向度迴歸
係數同質性考驗摘要表……………………………… 70
表4-23 追蹤測驗之「面積保留概念」向度之迴歸線相交點
及差異顯著點之數據資料…………………………… 70
表4-24 兩組學生在追蹤測驗之「面積測量概念」向度迴歸
係數同質性考驗摘要表……………………………… 72
表4-25 兩組學生「面積測量概念」追蹤測得分之共變數分
析摘要表……………………………………………… 72
表4-26 兩組學生在「面積測量概念」向度之前測、追蹤測
驗平均數及調整後的平均數………………………… 72
表4-27 兩組學生在追蹤測之「面積估測概念」向度迴歸係
數同質性考驗摘要表………………………………… 73
表4-28 兩組學生在「面積估測概念」追蹤測得分之共變數
分析摘要表…………………………………………… 73
表4-29 兩組學生在「面積估測概念」向度之前測、追蹤測
驗平均數及調整後的平均數………………………… 73
表4-30 實驗組與控制組「面積初步概念」測驗答對率（﹪ 75
表4-31 實驗組與控制組「面積初步概念」之『後測－前測
』與『追蹤測驗－前測』測驗答對率之比較（﹪） 75
表4-32 在「面積初步概念」上，全部答對學生人數及百分率76
表4-33 實驗組與控制組「面積保留概念」測驗答對率（﹪）82
表4-34 實驗組與控制組「面積保留概念」之『後測－前測』
與『追蹤測驗－前測』測驗答對率之比較（﹪）… 82
表4-35 在「面積保留概念」上，全部答對學生人數及百分率82
表4-36 實驗組與控制組「面積測量概念」測驗答對率（﹪）88
表4-37 實驗組與控制組「面積測量概念」之『後測－前測』
與『追蹤測驗－前測』測驗答對率之比較（﹪）… 89
表4-38 實驗組與控制組「面積實測與估測概念」測驗答對率120
表4-39 實驗組與控制組「面積估測概念」之『後測－前測』
與『追蹤測驗－前測』測驗答對率之比較（﹪）… 120
圖 次
圖2-1 面積保留概念………………………………………… 16
圖2-2 點數單位面積圖……………………………………… 18
圖2-3 疊置法面積測量概念實驗圖………………………… 19
圖2-4 單位測量面積概念實驗圖…………………………… 19
圖2-5 圖形的合成…………………………………………… 21
圖2-6 面積保留概念檢驗圖例……………………………… 26
圖2-7 面積概念問題………………………………………… 32
圖3-1 研究流程圖…………………………………………… 59
圖4-1 「面積初步概念」向度之兩組組內迴歸線………… 63
圖4-2 後測之「面積保留概念」向度之兩組組內迴歸線的
相交點和差異顯著點………………………………… 65
圖4-3 追蹤測驗之「面積保留概念」向度組內迴歸線的相
交點和差異顯著點…………………………………… 71

參 考 文 獻
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