Hill’s 算子的研究在數學介已經有幾十年的時間了。本文主要討論的問題是Hill’s 算子中Neumann 和Dirichlet 固有值的反問題。筆者主要是從Hochstadt 的相關的工作，發現這類的問題。Hochstadt 發現可以藉由對位能函數的位移得到更多關於固有值函數的關係，進而對位能函數有更多的了解。筆者發現，這樣的手法除了可以對有限個間隔的連續譜問題作研究，在其他的情行下，固有值函數本身直接也反映位能函數的特性。這類的問題也是從來沒有人曾經嘗試過的方法。
在第一個Neumann 固有值函數問題，筆者發現當第一個Neumann固有值函數是常數函數時，對應的位能函數也必然是常數函數，而且其值和第一個週期固有值相同。證明這個定理主要是對第一Neumann固有值的擾動作分析，發現第一Neumann固有值和位能函數有密切的關係。另外筆者也對於第一固有值的值域和位能函數值域兩者之間的關係做了探討，發現第一固有值的值域必然界在位能函數值域中間，藉由這個結果我們重新證明了Borg在1946年證明的定理。
除了針對第一個Neumann固有值函數，我們也發現當第n個Neumann 和Dirichlet 固有值函數相同時，對應的固有值函數區間必然為一點。固有值函數也完全刻劃了位能函數。想當然爾，偶函數所對應的固有值函數必是偶函數，反之亦然。上述兩個結果的應用，就是當位能函數是偶函數且Neumann 和Dirichlet 固有值相同時，位能函數必是常數函數。

The aim of this work is to understand some inverse problems of Hill's operator associated with the Neumann and the Dirichlet eigenvalue mappings. We start with investigating the relation between the first Neumann eigenvalue mapping and the potential function. We find a Borg's type theorem. It is not surprised that the evenness of the potential function is equivalent to the evenness of the eigenvalue mappings. An application of this theorem is to show that when the Neumann and the Dirichlet eigenvalues coincide, the even potential function is a constant.

第一章 簡介 -------------------- 3
第二章 預備知識和記號 -------------------- 5
第三章 第一個Neumann固有值 -------------------- 9
第四章 第一個Neumann固有值值域 -------------------- 11
第五章 其他固有值的性質 -------------------- 14

G. Borg, "Eine Umkehrung der Strum-Liouvilleschen Eigenwertaufgabe", Acta Math., Vol. 78, 1946, pp.1--96.
M. S. P. Eastham, "The Spectral Theory of Periodic Differential Equations", Scottish Academic Press,
Edinburg, 1973
W. Goldberg, "On the determination of a Hill's equation from
its spectrum", JMAA ,Vol 51, 1975, pp.705--723
H. Hochstadt, "On the determination of a Hill's equation from its spectrum", Arch. Rat. MEch. Analy., Vol.19, 1965, pp.353--362
W. Magnus and S. Winkler, "Hill's Equation", Dover, New York, 1979