臺灣博碩士論文加值系統

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 我們將討論橢圓方程\$Delta u+K(|x|)u^{p}=0 mbox{in} R^{n}\$(其中p>1，n>2)正則徑向解的分類，已知此方程的任何徑向解必有零點或滿足快速遞降，或滿足緩慢遞降。在此論文中，我们將初值為alpha的解記做\$u(r; alpha)\$時，當\$K(r)\$滿足某些條件時，我們利用參數\$r_{G}\$跟\$r_{H}\$(被\$K(r)\$所決定)，將方程式的徑向解結構可以分成下列三型:Z 型：對任意初值\$alphain(0,infty)\$時，u在\$(0,infty)\$ 上有零點。S 型：u對任意初值\$alphain(0,infty)\$時，u在\$(0,infty)\$ 上的振幅便緩慢遞降。M 型：存在一個初值\$alpha_{f}\$使得當初值\$alphain(alpha_{f},infty)\$時，u在\$(0,infty)\$ 上有零點。當初值\$alpha=alpha_{f}\$時，u在\$(0,infty)\$ 上的振幅便緩慢遞降。當初值\$alphain(0,alpha_{f})\$時，u在\$(0,infty)\$ 上的振幅便快速遞降。以上乃日本教授Yanagida和Yotsutani好幾篇論文的工作，我在此論文做一個整理報告。
 In this thesis, we shall give a concise account for the classification of the structure of positive radial solutions of the semilinear elliptic equation\$\$Delta u+K(|x|)u^{p}=0 .\$\$ It is known that a radial solution \$u\$ is crossing if \$u\$ has a zero in \$(0, infty)\$; \$u\$is slowly decaying if \$u\$ is positive but \$displaystylelim_{rightarrow{infty}}r^{n-2}u=infty\$; u is rapidly decaying if \$u\$ is positive,\$displaystylelim_{rightarrow{infty}}r^{n-2}u\$ exists and is positive. Using some Pohozaev identities, we show that under certain condition on \$K\$, by comparing some parameters \$r_{G}\$ and \$r_{H}\$, the structure of positive radial solutions for various initial conditions can be classified as Type Z (\$u(r; alpha)\$ is crossing for all \$r>0\$ ), Type S (\$u(r; alpha)\$ is slowly decaying for all \$r>0\$), and Type M (there is some \$alpha_{f}\$ such that\$u(r; alpha)\$ is crossing for \$alphain(alpha_{f},infty)\$, \$u(r; alpha)\$ is slowly decaying for\$alpha=alpha_{f}\$, and \$u(r; alpha)\$ is rapidly decaying for \$alphain(0, alpha_{f})\$). The above work is due to Yanagida and Yotsutani.
 1.Introduction2.Properties of solutions3.Kelvin Transformation4.Proof of Theorem A5.Proof of Key Proposition
 [1] K.-S. Cheng and J.-L. Chern , Existence of positiveentire solutions of some semilinear elliptic equations, J.Differential Equations, \$mathbf{98}\$ (1992), 169-180.[2] N. Kawano , W.-M. Ni , and S. Yotsutani , Ageneralized Pohozaev identity and its applications, J. Math. Soc.Japan, \$mathbf{42}\$(1990), 541-564.[3] N. Kawano , E. Yanagida , and S. Yotsutani , Structuretheorems for positive radial solutions to \$Deltau+K(|x|)u^{p}=0\$ in \$mathbf{R}^{n}\$, Funkcial. Ekvac.\$mathbf{36}\$ (1993), 557-579.[4] W.-M. Ni and S. Yotsutani , Semilinear ellipticequations of Matukuma-type and related topics , Japan J. Appl.Math. , \$mathbf{5}\$(1988), 1-32.[5] E. Yanagida and S. Yotsutani , Classifications ofthe structure of positive radial solutions to \$Deltau+K(|x|)u^{p}=0\$ in \$mathbf{R}^{n}\$, Arch. Rational Mech. Anal.,\$mathbf{124}\$ (1993), 239-259.[6] E. Yanagida and S. Yotsutani , Existence ofpositive radial solutions to \$Delta u+K(|x|)u^{p}=0\$ in\$mathbf{R}^{n}\$ , J. Differential Equations,\$mathbf{115}\$(1995), 477-502.[7] S. Yotsutani , Positive radial solutions tononlinear elliptic boundary value problems, LectureNotes(Gidas-Ni-Nirenberg), NCTS, (2000).
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