# 臺灣博碩士論文加值系統

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 In this report, we shall survey seral Harnack inequalities for elliptic and parabolic equations, and derive these estimates.
 Introduction 11 Harnack inequalities 31.1 Harnack inequalities for elliptic PDE . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Harnack inequalities for parabolic PDE . . . . . . . . . . . . 72 The porous medium equation @u@t = 4(uM) 192.1 M > 1 (The Migration Equation) . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.1 Harnack inequality of porous medium equation withM > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.2 The migration equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 M = 1 (Heat equation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 M < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 General Harnack type inequalities 313.1 p-diffusion equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 General prior bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.1 Proof of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.2 Application of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 42
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