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臺灣博碩士論文加值系統

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研究生:林瑞國
研究生(外文):Reui-Kuo Lin
論文名稱:不可壓縮黏性熱磁流之科學計算方法
指導教授:許文翰
指導教授(外文):Wen- Hann Sheu
學位類別:博士
校院名稱:國立臺灣大學
系所名稱:工程科學及海洋工程學研究所
學門:工程學門
學類:綜合工程學類
論文種類:學術論文
論文出版年:2005
畢業學年度:93
語文別:中文
論文頁數:488
中文關鍵詞:有限差分不可壓縮流磁場方程精確解緊致格式保有頻散格式
外文關鍵詞:finite-differenceincompressible viscous flowmagnetic induction equationnodally-exact schemecompact schemeDRP scheme
相關次數:
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本論文主要的研究方向是求解不可壓縮流Navier-Stokes及磁場方程式。論文架構在多維正交曲線座標系統上,于非交錯式網格上壓力與速度耦合配置方式下,採用有限差分方法離散統御方程式,發展高階準確單調多維對流、擴散及反應項次數值算則,以期準確的求解流體力學與電磁學程式。

本研究的主要貢獻是依據質量的守�琠吽B對流項次離散算則的適用性、邊界條件設定的正確性與避免非物理性震盪的條件下,率先採用控制方程式之精確解即指數型通解作為離散模型,以非交錯式網格配置的有限差分方法,建構三維正交曲線座標系統的統御方程式。並由不可壓縮拘束條件及對流優勢所導致之數值不穩定。為了消除由於對流優勢所引致的不穩定現象,吾人嘗試建構了緊致格式及保有頻散關係格式之有限差分方法,藉由具實解之二維Navier-Stokes方程式之測試,可驗證此方法具可行性。另採用M矩陣觀念,使離散方程組在某一特定範圍下保有正定性質,使得所求解的物理量具單調性,這有助于補捉在高雷諾數流場中具不連續解特性之物理現象。其次,針對多維暫態問題,率先發展適用於提高時間上求解的準確性,分別地引入高階多步方法、顯性與隱性混合四階的方法。再則,本研究率先發展了適用于多維求解速度與壓力耦合方程組于非交錯式網格,並提出一套革新求解不可壓縮流Navier-Stokes方程組的方法。最後,本研究率先發展出適用于多維空間上處理因非線性項所造成解的震盪與不收斂性,分別建構了線性化方法與多層次方法,有效地加快于求解不可壓縮流Navier-Stokes方程組的收斂速度。在求解三維問題時往往需耗費極大的計算資源,因而使用一快速且穩定之求解矩陣方程組及計算域切割之方法為解決三維問題之首要課題。傳統之直接求解法需佔用大量記憶資源,因而有效之疊代法應運而生,PGMRES 疊代法是針對非對稱且非正定矩陣方程組之有效求解方法,除使用較小的記憶資源外,又可迅速的求解。
To preserve incompressibility constraint condition and avoid oscillations in cases of dominated convection, the major focal point of this dissertation is to develop some effective models for solving magnetic induction equations and the incompressible Navier-Stokes equations. In the simulation, there is one major source of instability due to an inappropriate storage of the velocity and pressure fields. This type of instabilities usually appears as oscillations seen primarily in the pressure filed. The other instability source is due to the presence of advection terms in the equations, which can result in spurious oscillations in the velocity field. These two challenging instability problems form are core of the present study.

To solve the CD (convection-diffusion) model equation the FDM (finite-difference method) for the field equations under current investigation is developed on non-staggered grids. The unconditional mass conservation, the approximation of discrete convection terms, the acceleration of convergence are considered in the proposed method. The FDM is employed along with the compact scheme and the DRP (dispersion-relation-preserving) theory to overcome the convective instability that arises from the convection term for problems considered at high Reynolds numbers has been employed to enhance stability. A novel method in non-staggered grids to accelerate the nonlinear convergence of incompressible Navier-Stokes equation is also proposed. To validate these proposed methods, several 2D and 3D test cases were performed. The simulated results show that the proposed methods are highly reliable and applicable to a wide range of flow conditions. For unsteady problems, a high order multiple time-stepping scheme, which increase the time accuracy, is introduced. Linearization and multi-level methods were proposed for effectively accelerating the non-convergence arising from the convection term.
誌謝 i
中文摘要 iii
英文摘要 iv
I 基本理論 1
1 導論 2
1.1 求解不可壓縮流 Navier-Stokes 方程的挑戰性 3
1.2 加速不可壓縮流 Navier-Stokes 方程之計算 5
1.3 本論文的涵蓋範圍 8
2 統御方程式 14
2.1 不可壓縮黏性流 14
2.1.1 質量守�琱韏{(連續性方程) 14
2.1.2 動量守�琱韏{(Navier-Stokes 方程) 15
2.1.3 能量守�琱韏{ 17
2.1.4 初始條件與邊界條件 19
2.1.5 流體不可壓縮性質的探討 20
2.2 壓力 Poisson 方程及其數值邊界條件 21
2.2.1 推導壓力 Poisson 方程 21
2.2.2 壓力 Poisson 方程的邊界條件 22
2.3 不可壓縮電磁流方程 22
2.3.1 電磁場的基本定律(Maxwell 方程組) 22
2.3.2 控制方程式 24
2.4 控制方程無因次化 25
2.5 通用微分方程 27
2.6 結論 27
IIhspace1em 數值離散方法的差分格式 31
3 空間離散格式 32
3.1 對流與擴散問題 33
3.1.1 對流擴散方程 35
3.1.2 對流項離散格式的重要性 36
3.1.3 對流項離散格式假擴散特性 36
3.2 精確解差分格式 38
3.2.1 一維精確解格式 38
3.2.2 二維精確解格式 41
3.2.3 三維精確解格式 42
3.3 交替方向隱性算法 43
3.3.1 Peaceman-Rachford ADI 格式 43
3.3.2 二維 ADI 數值方法 44
3.3.3 三維 ADI 數值方法 45
3.4 廣義緊致格式 46
3.4.1 一階導數項次 46
3.4.2 二階導數項次 48
3.5 保持頻散關係格式 49
3.5.1 對流項次 DRP 格式 49
3.5.2 精確解人工黏滯格式 52
3.6 代數方程組的求解方法 57
3.6.1 三對角矩? Thomas 算法 58
3.6.2 LU 分解 59
3.6.3 修正強隱方法(MSIP) 60
3.6.4 共軛梯度型方法(GMRES) 62
3.7 數值計算方法與程序的檢驗 64
3.7.1 數值誤差因子 65
3.7.2 一維純量 Helmholtz 問題 65
3.7.3 二維純量 Helmholtz 問題 I 65
3.7.4 二維純量 Helmholtz 問題 II 66
3.7.5 二維 Codina 問題 66
3.7.6 二維具有邊界層問題 I 66
3.7.7 二維具有邊界層問題 II 67
3.7.8 二維純量 Burgers'' 問題 67
3.7.9 二維 Gaussian 與 hyperbolic tangent 問題 67
3.7.10 二維 Skew 具有不連續階梯問題 68
3.7.11 二維 Smith 與 Hutton 問題 68
3.7.12 二維線性 Gartland 問題 68
3.7.13 三維具有邊界層問題 68
3.8 數值計算結果 75
4 時間離散方法 98
4.1 Euler 方法 98
4.1.1 Euler 顯性時間積分法 98
4.1.2 Euler 隱性時間積分法 99
4.2 單步方法 99
4.2.1 Runge-Kutta 高階顯性時間積分法 100
4.2.2 單步二階隱性法 100
4.3 線性多步法 101
4.3.1 兩步三階隱性法 102
4.3.2 三步四階隱性法 103
4.3.3 顯性 Adams 法 104
4.3.4 隱性 Adams 法 106
4.4 預測-校正方法 107
4.4.1 基本思想 107
4.4.2 顯式與隱式混合的方法 108
4.4.3 四階Adams預測-校正方法 110
4.5 離散方程的誤差與物理特性分析 112
4.5.1 離散方程的截斷誤差 112
4.5.2 離散方程的相容性(consistency) 113
4.5.3 數值解的離散誤差與捨入誤差 113
4.6 基本分析方法 114
4.6.1 離散 Fourier 展? 114
4.6.2 von Neumann 穩定性分析 115
4.6.3 頻散與消散分析 121
4.7 計算結果與討論 133
4.7.1 收斂準則 133
4.7.2 一維非線性 Burgers'' 問題 133
4.7.3 一維具不連續階梯流問題 134
4.7.4 二維純量 Burgers'' 問題 I 134
4.7.5 二維純量 Burgers'' 問題 II 134
4.7.6 二維具不連續階梯斜向流問題 134
4.7.7 二維對流傳遞旋轉中心餘弦體純量場問題 135
4.7.8 二維混合熱鋒面與冷鋒面交界線的對流問題 135
4.8 數值計算結果 139
IIIhspace1em 不可壓縮流Navier-Stokes方程組 155
5 不可壓縮流Navier-Stokes方程組於同位網格之原始變量法 156
5.1 順序求解代數方程的方法 156
5.1.1 非原始變量法 156
5.1.2 原始變量法 157
5.2 同位網格之非震盪解 161
5.2.1 同位網格研究的進展 162
5.2.2 同位網格中引入壓力與速度耦合關係的方法 162
5.2.3 控制容積PPE離散與其邊界條件 165
5.2.4 高階Poisson方程離散格式 169
5.3 無散度之分離方式方法 171
5.3.1 研究動機 171
5.3.2 常用不可壓縮流Navier-Stokes方程組合的分析 171
5.3.3 不可壓縮流Navier-Stokes方程組的新解法 172
5.3.4 連續性方程離散格式 173
5.4 數值模擬與程式驗證 175
5.4.1 流場迭代求解收斂的判定 175
5.4.2 二維穩態 Navier-Stokes 具實解問題I 178
5.4.3 二維穩態 Navier-Stokes 具實解問題II 179
5.4.4 二維暫態 Navier-Stokes 具實解問題 179
5.4.5 具源項之拉穴流問題 179
5.4.6 二維拉穴測試問題 180
5.5 小結 180
5.6 數值計算結果 188
6 非線性項之線性化 206
6.1 迭代法 206
6.1.1 收斂階數 207
6.1.2 計算效率 207
6.1.3 鬆弛迭代法 207
6.2 牛頓 Raphson 法 208
6.2.1 研究動機 208
6.2.2 求解程序 209
6.3 牛頓 Krylov 法 210
6.3.1 低階牛頓法 210
6.3.2 弦截法 213
6.3.3 高階牛頓法 214
6.4 數值分析與檢驗 216
6.4.1 二維 Navier-Stokes 實解問題 216
6.4.2 二維 Kovasznay 流動問題 217
6.4.3 具源項之拉穴流問題 217
6.4.4 二維拉穴測試問題 218
6.5 數值計算結果 221
7 求解之多層次方法 226
7.1 研究動機 226
7.2 求解程序 226
7.3 二層次方法 227
7.3.1 牛頓法 227
7.3.2 Oseen 法 228
7.4 三層次方法 229
7.4.1 Picard 修正法 229
7.4.2 牛頓修正法 230
7.5 內插函數 230
7.5.1 代數平均格式 231
7.5.2 QUICK 格式 231
7.5.3 Lagrange 多項式 233
7.5.4 Helmholtz 型格式 235
7.5.5 指數型格式 236
7.6 計算結果與討論 237
7.6.1 二維 Navier-Stokes 實解問題 238
7.6.2 二維 Kovasznay 流問題 238
7.6.3 具源項之拉穴流問題 238
7.6.4 二維拉穴測試問題 239
7.7 數值計算結果 242
IVhspace1em 有限差分離散方法於流體力學方程式上之應用 258
8 二維不可壓縮黏性 Navier-Stokes 方程組的模擬與驗證 259
8.1 在層流流動計算中應用 259
8.1.1 文獻回顧 259
8.1.2 平行平板層流流動的計算與分析 261
8.1.3 後向迭流流動計算與分析 262
8.2 二維不可壓縮拉穴流數值分析 267
8.2.1 文獻回顧 267
8.2.2 問題描述 268
8.2.3 計算結果 268
8.3 封閉空穴自然對流換熱問題的數值模擬 272
8.3.1 文獻回顧 272
8.3.2 熱驅動自然對流的分類 273
8.3.3 問題描述 274
8.3.4 物理模型的描述和邊界條件的設定 274
8.3.5 數值結果與討論 276
8.4 封閉空穴中雙擴散之自然對流 280
8.4.1 文獻回顧 280
8.4.2 溫鹽雙擴散系統對流擴散的數值模擬 281
8.4.3 封閉空穴內的雙擴散自然對流 281
8.5 熱磁流體流動之數值分析 286
8.5.1 文獻回顧 286
8.5.2 二維 Kovasznay 流問題 288
8.5.3 Hartmann-Poiseuille 流動問題 289
8.5.4 Shielding of Magnetic Field Oscillations 290
8.5.5 空穴內之電磁流熱交換問題 290
8.6 數值計算結果 294
9 三維不可壓縮黏性流 Navier-Stokes 之數值模擬與驗證 409
9.1 三維穩態 Navier-Stokes 實解問題驗證 409
9.1.1 問題描述 409
9.1.2 計算結果 409
9.2 三維暫態 Navier-Stokes 實解問題驗證 410
9.2.1 問題描述 410
9.2.2 計算結果 410
9.3 三維封閉拉穴的數值分析 410
9.3.1 研究動機與目的 410
9.3.2 文獻回顧 411
9.3.3 數值解結果與討論 413
9.4 數值計算結果 418
10 結論 458
10.1 研究成果與討論 458
10.2 未來研究的展望 459
A M矩? 的基礎理論 461
B DRP格式驗證 462
C 高階緊致格式 464
C.1 對流-擴散方程 465
C.2 Poisson方程 467
C.3 基本的差分操作 469
D Fourier 穩定性分析 470
D.1 證明:$mid Gmid leq 1$ 470
D.2 正解的相移$ heta _e$ 471
E 頻散與消散分析 472
E.1 Euler隱性格式 472
E.2 線性多步法 473
F 邊界條件之離散 480
F.1 邊界條件 480
F.1.1 頂部邊界 480
F.1.2 左邊界條件 481
F.1.3 右邊界條件 482
F.2 角點離散 484
F.2.1 右下角點 484
F.2.2 左上角點 485
F.2.3 右上角點 487
G 多層次方法之修正方程 490
G.1 Picard方法之修正方程 490
G.2 牛頓修正法之修正方程 490
Autobiography 492
Publication List 493
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QRCODE
 
 
 
 
 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
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