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臺灣博碩士論文加值系統

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研究生:林旺春
研究生(外文):Wang-Chuen Lin
論文名稱:建築結構強震紀錄之類神經網路參數識別
論文名稱(外文):Artificial Neural Network Parametric Identification for Strong Motion Records of Building Structures
指導教授:鍾立來鍾立來引用關係王安培
指導教授(外文):Lap-Loi ChungAn-Pei Wang
學位類別:碩士
校院名稱:中原大學
系所名稱:土木工程研究所
學門:工程學門
學類:土木工程學類
論文種類:學術論文
論文出版年:2006
畢業學年度:94
語文別:中文
論文頁數:176
中文關鍵詞:類神經網路參數系統識別遞迴參數推測方法
外文關鍵詞:artificial neural networkrecursive parametric estimation methodparametric system identification
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現今地震災害頻傳,預測地震之科技也尚未成熟,所以只能依照法規進行耐震設計以防患未然,建築結構的動態行為一直是耐震設計與分析中所考慮的重要因素之ㄧ。近年來發展了各種系統識別方法與模式,其中參數系統識別模型的建立,如ARX模型。為利用整批處理的參數推測法,不適用於非線性與時變性系統。而單純使用類神經網路建立輸出入值之關係,其權重並無法有效表達動力參數。
本研究採用遞迴參數推測(recursive parameter estimation)方法,發展出線上系統識別,即遞迴最小平方法(RARX)模型。此模型在設定初始共變異數矩陣(covariance matrix)時,往往因設定不理想,導致識別效果不佳。因此將類神經網路與RARX模型做一結合,採用單層神經元,定義其類神經權重值為估測動力參數,藉由無須設定共變異數矩陣,識別非線性時變系統。
將類神經網路與RARX模型做一結合,衍生出RARX-ANN模型。最後利用加裝阻尼器之鋼構架試驗與台東消防分隊大樓,分析非線性時變行為,由識別結果發現,因塑性行為增加與主結構破壞,會導致頻率遞減與阻尼比突增之現象,可做為一參考指標。
The earthquake disaster occurs frequently nowadays, but science and technology for the prediction of earthquakes is not well developed. The structures dynamic behavior always is one of the most important factors while designing and analyzing the seismic resistance. In recent years, there are lots of various system identifications methods developed, such as ARX model. ARX model is a parametric method using the batch and not suitable for the non-linear and time-varying system. Only using artificial neural network to establish the relationship between inputs and outputs, its weights could not express the dynamics parameter effectively.
The purpose of this research is to use recursive parametric estimation method to develop the on-line system identification, which is called RARX model. An initial covariance matrix has to be assigned and this initial covariance matrix will affect the identification result. Therefore, we use the neural network to modify the RARX model. The single layer neuron network is selected in this study, and the network weights are defined as the dynamic parameters. Consequently, a nonlinear time-varying system can be identified, and the initial covariance matrix is not necessary.
We derive the RARX-ANN model by combing the RARX model and artificial neural network. Experiment of steel frame with damper and Fire Department building in Taitung are taken as two examples for analyzing the nonlinear time-varying behavior in this study. According to identification results, damage of main structure and increase of plastic behavior will cause the frequency decreases and damping ratio increases. The results of this paper may offer as a reference for earthquake research later on.
目錄

中文摘要..................................................I
英文摘要.................................................II
誌謝......................................................III
目錄......................................................IV
表目錄..................................................VII
圖目錄.................................................VIII
照片目錄............................................XXIII
附錄目錄............................................XXIII

第一章 緒 論 1
1.1 研究動機與目的 1
1.2 文獻回顧 3
1.3 研究內容 9
第二章 動力系統之數學模式 11
2.1 連續時間系統之輸入輸出模型 11
2.2 離散時間系統的輸入輸出模型 12
2.3 非時變線性系統 13
2.4 連續時間系統與離散時間系統之轉換 15
第三章 參數系統識別 17
3.1 系統模型簡介 18
3.2 ARX模型 19
3.3 遞迴參數推測演算法 21
第四章 類神經網路系統識別 27
4.1 生物神經元與人工神經元 28
4.1.1 生物神經元模型 28
4.1.2 人工神經元模型 30
4.1.3 轉換函數 31
4.1.4 類神經網路之種類 31
4.1.5 倒傳遞類神經網路(Back Propagation Network )及其演算法 33
4.1.6 網路參數 39
4.1.7 神經網路之優缺點 40
4.2 RARX-ANN模型 42
4.3 RARX-ANN模型演算法識別過程 45
4.4 RARX-ANN模型誤差指數的測定 46
第五章 結構系統識別的實例分析 48
5.1 線性建築結構物之系統識別 48
5.2 國家地震工程研究中心振動台試驗之系統識別 51
5.3 台東消防分隊大樓之系統識別 54
第六章 結論與展望 60
6.1 結論 60
6.2 展望 62
參考文獻 64
附表 66
附圖 74
附照片 146
附錄 150

表目錄

表4. 1 生物神經元與人工神經元相同部分 66
表5.1 P矩陣初值對單自由度結構系統識別結果之影響(SISO) 66
表5.2 P矩陣初值對二自由度結構系統識別結果之影響(SISO) 67
表5.3 P矩陣初值對二自由度結構系統識別結果之影響(SIMO) 68
表5.4 三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器之系統識別結果(SISO) 69
表5.5 三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器之系統識別結果(SISO)(續) 70
表5.6 台東消防分隊大樓利用1022地震之X軸向系統識別結果(SISO) 71
表5.7 台東消防分隊大樓利用1022地震之Y軸向系統識別結果(SISO) 71
表5.8 台東消防分隊大樓利用0401主震主結構破壞後之X軸向系統識別結果(SISO) 72
表5.9 台東消防分隊大樓利用0401主震主結構破壞後之Y軸向系統識別結果(SISO) 72
表5.10 台東消防分隊大樓利用1022地震之系統識別結果(SIMO) 73
表5.11 台東消防分隊大樓利用0401主震主結構破壞後之系統識別結果(SIMO) 73

圖目錄

圖3.1線性非時變結構系統模型 74
圖4.1生物神經元示意圖【19】 74
圖4.2人工神經元示意圖 75
圖4.3常用之轉換函數 75
圖4.4常用之轉換函數(續) 76
圖4.5類神經網路簡圖 77
圖4.6前饋式類神經網路 77
圖4.7回饋式類神經網路【19】 78
圖4.8倒傳遞類神經網路示意圖【19】 78
圖4.9倒傳遞類神經網路流程圖 79
圖4.10 RARX-ANN之倒傳遞類神經網路架構 80
圖5.1 SISO單自由度結構系統利用RARX模型量測資料與模擬結果(P=10e1I) 81
圖5.2 SISO單自由度結構系統利用RARX模型量測資料與模擬結果(P=10e5I) 81
圖5.3 SISO單自由度結構系統利用RARX模型量測資料與模擬結果(P=10e10I) 82
圖5.4 SISO單自由度結構系統利用RARX模型量測資料與模擬結果(P=10e25I) 82
圖5.5 SISO單自由度結構系統利用RARX-ANN模型量測資料與模擬結果 83
圖5.6 SISO單自由度結構系統利用RARX模型量測資料與預測結果(P=10e1I) 83
圖5.7 SISO單自由度結構系統利用RARX模型量測資料與預測結果(P=10e5I) 84
圖5.8 SISO單自由度結構系統利用RARX模型量測資料與預測結果(P=10e10I) 84
圖5.9 SISO單自由度結構系統利用RARX模型量測資料與預測結果(P=10e25I) 85
圖5.10 SISO單自由度結構系統利用RARX-ANN模型量測資料與預測結果 85
圖5.11 SISO二自由度結構系統利用RARX模型量測資料與模擬結果(P=10e1I) 86
圖5.12 SISO二自由度結構系統利用RARX模型量測資料與模擬結果(P=10e5I) 86
圖5.13 SISO二自由度結構系統利用RARX模型量測資料與模擬結果(P=10e10I) 87
圖5.14 SISO二自由度結構系統利用RARX模型量測資料與模擬結果(P=10e25I) 87
圖5.15 SISO二自由度結構系統利用RARX-ANN模型量測資料與模擬結果 88
圖5.16 SISO二自由度結構系統利用RARX模型量測資料與預測結果(P=10e1I) 88
圖5.17 SISO二自由度結構系統利用RARX模型量測資料與預測結果(P=10e5I) 89
圖5.18 SISO二自由度結構系統利用RARX模型量測資料與預測結果(P=10e10I) 89
圖5.19 SISO二自由度結構系統利用RARX模型量測資料與預測結果(P=10e25I) 90
圖5.20 SISO二自由度結構系統利用RARX-ANN模型量測資料與預測結果 90
圖5.21 SIMO二自由度結構系統利用RARX模型量測資料與模擬結果(P=10e1I) 91
圖5.22 SIMO二自由度結構系統利用RARX模型量測資料與模擬結果(P=10e5I) 91
圖5.23 SIMO二自由度結構系統利用RARX模型量測資料與模擬結果(P=10e10I) 92
圖5.24 SIMO二自由度結構系統利用RARX模型量測資料與模擬結果(P=10e25I) 92
圖5.25 SIMO二自由度結構系統利用RARX-ANN模型量測資料與模擬結果 93
圖5.26 SIMO二自由度結構系統利用RARX模型量測資料與預測結果(P=10e1I) 93
圖5.27 SIMO二自由度結構系統利用RARX模型量測資料與預測結果(P=10e5I) 94
圖5.28 SIMO二自由度結構系統利用RARX模型量測資料與預測結果(P=10e10I) 94
圖5.29 SIMO二自由度結構系統利用RARX模型量測資料與預測結果(P=10e25I) 95
圖5.30 SIMO二自由度結構系統利用RARX-ANN模型量測資料與預測結果 95
圖5.31 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器利用RARX-ANN模型量測資料與模擬結果(El Centro 100gal) 96
圖5.32 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器利用RARX-ANN模型量測資料與模擬結果(El Centro 150gal) 96
圖5.33 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器利用RARX-ANN模型量測資料與模擬結果(El Centro 200gal) 97
圖5.34 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器利用RARX-ANN模型量測資料與模擬結果(El Centro 250gal) 97
圖5.35 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器利用RARX-ANN模型量測資料與模擬結果(El Centro 300gal) 98
圖5.36 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器利用RARX-ANN模型量測資料與模擬結果(El Centro 350gal) 98
圖5.37 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器利用RARX-ANN模型量測資料與模擬結果(El Centro 400gal) 99
圖5.38 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器利用RARX-ANN模型量測資料與模擬結果(El Centro 450gal) 99
圖5.39 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器利用RARX-ANN模型量測資料與模擬結果(El Centro 500gal) 100
圖5.40 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器利用RARX-ANN模型量測資料與模擬結果(El Centro 550gal) 100
圖5.41 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器利用RARX-ANN模型量測資料與模擬結果(El Centro 600gal) 101
圖5.42 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器利用RARX-ANN模型量測資料與模擬結果(El Centro 650gal) 101
圖5.43 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器利用RARX-ANN模型量測資料與預測結果(El Centro 50gal) 102
圖5.44 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器利用RARX-ANN模型量測資料與預測結果(El Centro 100gal) 102
圖5.45 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器利用RARX-ANN模型量測資料與預測結果(El Centro 150gal) 103
圖5.46 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器利用RARX-ANN模型量測資料與預測結果(El Centro 200gal) 103
圖5.47 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器利用RARX-ANN模型量測資料與預測結果(El Centro 250gal) 104
圖5.48 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器利用RARX-ANN模型量測資料與預測結果(El Centro 300gal) 104
圖5.49 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器利用RARX-ANN模型量測資料與預測結果(El Centro 350gal) 105
圖5.50 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器利用RARX-ANN模型量測資料與預測結果(El Centro 400gal) 105
圖5.51 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器利用RARX-ANN模型量測資料與預測結果(El Centro 450gal) 106
圖5.52 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器利用RARX-ANN模型量測資料與預測結果(El Centro 500gal) 106
圖5.53 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器利用RARX-ANN模型量測資料與預測結果(El Centro 550gal) 107
圖5.54 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器利用RARX-ANN模型量測資料與預測結果(El Centro 600gal) 107
圖5.55 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器的轉換函數之振幅圖與相角圖(El Centro 100gal) 108
圖5.56 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器的轉換函數之振幅圖與相角圖(El Centro 150gal) 108
圖5.57 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器的轉換函數之振幅圖與相角圖(El Centro 200gal) 109
圖5.58 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器的轉換函數之振幅圖與相角圖(El Centro 250gal) 109
圖5.59 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器的轉換函數之振幅圖與相角圖(El Centro 300gal) 110
圖5.60 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器的轉換函數之振幅圖與相角圖(El Centro 350gal) 110
圖5.61 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器的轉換函數之振幅圖與相角圖(El Centro 400gal) 111
圖5.62 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器的轉換函數之振幅圖與相角圖(El Centro 450gal) 111
圖5.63 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器的轉換函數之振幅圖與相角圖(El Centro 500gal) 112
圖5.64 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器的轉換函數之振幅圖與相角圖(El Centro 550gal) 112
圖5.65 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器的轉換函數之振幅圖與相角圖(El Centro 600gal) 113
圖5.66 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器的轉換函數之振幅圖與相角圖(El Centro 650gal) 113
圖5.67 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器之第一振態頻率圖與阻尼圖(El Centro 100gal) 114
圖5.68 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器之第一振態頻率圖與阻尼圖(El Centro 150gal) 114
圖5.69 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器之第一振態頻率圖與阻尼圖(El Centro 200gal) 115
圖5.70 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器之第一振態頻率圖與阻尼圖(El Centro 250gal) 115
圖5.71 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器之第一振態頻率圖與阻尼圖(El Centro 300gal) 116
圖5.72 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器之第一振態頻率圖與阻尼圖(El Centro 350gal) 116
圖5.73 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器之第一振態頻率圖與阻尼圖(El Centro 400gal) 117
圖5.74 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器之第一振態頻率圖與阻尼圖(El Centro 450gal) 117
圖5.75 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器之第一振態頻率圖與阻尼圖(El Centro 500gal) 118
圖5.76 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器之第一振態頻率圖與阻尼圖(El Centro 550gal) 118
圖5.77 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器之第一振態頻率圖與阻尼圖(El Centro 600gal) 119
圖5.78 SISO三層樓鋼構架加裝圓棒形加勁消能器之第一振態頻率圖與阻尼圖(El Centro 650gal) 119
圖5.79 SISO台東消防分隊大樓2樓X軸向利用RARX-ANN模型量測資料與模擬結果(1022地震) 120
圖5.80 SISO台東消防分隊大樓頂樓X軸向利用RARX-ANN模型量測資料與模擬結果(1022地震) 120
圖5.81 SISO台東消防分隊大樓2樓Y軸向利用RARX-ANN模型量測資料與模擬結果(1022地震) 121
圖5.82 SISO台東消防分隊大樓頂樓Y軸向利用RARX-ANN模型量測資料與模擬結果(1022地震) 121
圖5.83 SISO台東消防分隊大樓2樓X軸向利用RARX-ANN模型量測資料與預測結果(1022地震) 122
圖5.84 SISO台東消防分隊大樓頂樓X軸向利用RARX-ANN模型量測資料與預測結果(1022地震) 122
圖5.85 SISO台東消防分隊大樓2樓Y軸向利用RARX-ANN模型量測資料與預測結果(1022地震) 123
圖5.86 SISO台東消防分隊大樓頂樓Y軸向利用RARX-ANN模型量測資料與預測結果(1022地震) 123
圖5.87 SISO台東消防分隊大樓2樓X軸的轉換函數之振幅圖與相角圖(1022地震) 124
圖5.88 SISO台東消防分隊大樓頂樓X軸的轉換函數之振幅圖與相角圖(1022地震) 124
圖5.89 SISO台東消防分隊大樓2樓Y軸的轉換函數之振幅圖與相角圖(1022地震) 125
圖5.90 SISO台東消防分隊大樓頂樓Y軸的轉換函數之振幅圖與相角圖(1022地震) 125
圖5.91 SISO台東消防分隊大樓2樓X軸之第一振態頻率圖與阻尼圖(1022地震) 126
圖5.92 SISO台東消防分隊大樓頂樓X軸之第一振態頻率圖與阻尼圖(1022地震) 126
圖5.93 SISO台東消防分隊大樓2樓Y軸之第一振態頻率圖與阻尼圖(1022地震) 127
圖5.94 SISO台東消防分隊大樓頂樓Y軸之第一振態頻率圖與阻尼圖(1022地震) 127
圖5.95 SISO台東消防分隊大樓2樓X軸向利用RARX-ANN模型量測資料與模擬結果(0401地震) 128
圖5.96 SISO台東消防分隊大樓頂樓X軸向利用RARX-ANN模型量測資料與模擬結果(0401地震) 128
圖5.97 SISO台東消防分隊大樓2樓Y軸向利用RARX-ANN模型量測資料與模擬結果(0401地震) 129
圖5.98 SISO台東消防分隊大樓頂樓Y軸向利用RARX-ANN模型量測資料與模擬結果(0401地震) 129
圖5.99 SISO台東消防分隊大樓2樓X軸向利用RARX-ANN模型量測資料與預測結果(0401地震) 130
圖5.100 SISO台東消防分隊大樓頂樓X軸向利用RARX-ANN模型量測資料與預測結果(0401地震) 130
圖5.101 SISO台東消防分隊大樓2樓Y軸向利用RARX-ANN模型量測資料與預測結果(0401地震) 131
圖5.102 SISO台東消防分隊大樓頂樓Y軸向利用RARX-ANN模型量測資料與預測結果(0401地震) 131
圖5.103 SISO台東消防分隊大樓2樓X軸的轉換函數之振幅圖與相角圖(0401地震) 132
圖5.104 SISO台東消防分隊大樓頂樓X軸的轉換函數之振幅圖與相角圖(0401地震) 132
圖5.105 SISO台東消防分隊大樓2樓Y軸的轉換函數之振幅圖與相角圖(0401地震) 133
圖5.106 SISO台東消防分隊大樓頂樓Y軸的轉換函數之振幅圖與相角圖(0401地震) 133
圖5.107 SISO台東消防分隊大樓2樓X軸之第一振態頻率圖與阻尼圖(0401地震) 134
圖5.108 SISO台東消防分隊大樓頂樓X軸之第一振態頻率圖與阻尼圖(0401地震) 134
圖5.109 SISO台東消防分隊大樓2樓Y軸之第一振態頻率圖與阻尼圖(0401地震) 135
圖5.110 SISO台東消防分隊大樓頂樓Y軸之第一振態頻率圖與阻尼圖(0401地震) 135
圖5.111 SIMO台東消防分隊大樓X軸向利用RARX-ANN模型量測資料與模擬結果(1022地震) 136
圖5.112 SIMO台東消防分隊大樓Y軸向利用RARX-ANN模型量測資料與模擬結果(1022地震) 136
圖5.113 SIMO台東消防分隊大樓X軸向利用RARX-ANN模型量測資料與預測結果(1022地震) 137
圖5.114 SIMO台東消防分隊大樓Y軸向利用RARX-ANN模型量測資料與預測結果(1022地震) 137
圖5.115 SIMO台東消防分隊大樓2樓X軸的轉換函數之振幅圖與相角圖(1022地震) 138
圖5.116 SISO台東消防分隊大樓頂樓X軸的轉換函數之振幅圖與相角圖(1022地震) 138
圖5.117 SIMO台東消防分隊大樓2樓Y軸的轉換函數之振幅圖與相角圖(1022地震) 139
圖5.118 SIMO台東消防分隊大樓頂樓Y軸的轉換函數之振幅圖與相角圖(1022地震) 139
圖5.119 SIMO台東消防分隊大樓X軸之第一振態頻率圖與阻尼圖(1022地震) 140
圖5.120 SIMO台東消防分隊大樓Y軸之第一振態頻率圖與阻尼圖(1022地震) 140
圖5.121 SIMO台東消防分隊大樓主結構破壞後X軸向利用RARX-ANN模型量測資料與模擬結果(0401地震) 141
圖5.122 SIMO台東消防分隊大樓主結構破壞後Y軸向利用RARX-ANN模型量測資料與模擬結果(0401地震) 141
圖5.123 SIMO台東消防分隊大樓主結構破壞後X軸向利用RARX-ANN模型量測資料與預測結果(0401地震) 142
圖5.124 SIMO台東消防分隊大樓主結構破壞後Y軸向利用RARX-ANN模型量測資料與預測結果(0401地震) 142
圖5.125 SIMO台東消防分隊大樓主結構破壞後2樓X軸的轉換函數之振幅圖與相角圖(0401地震) 143
圖5.126 SISO台東消防分隊大樓主結構破壞後頂樓X軸的轉換函數之振幅圖與相角圖(0401地震) 143
圖5.127 SIMO台東消防分隊大樓主結構破壞後2樓Y軸的轉換函數之振幅圖與相角圖(0401地震) 144
圖5.128 SIMO台東消防分隊大樓主結構破壞後頂樓Y軸的轉換函數之振幅圖與相角圖(0401地震) 144
圖5.129 SIMO台東消防分隊大樓主結構破壞後X軸之第一振態頻率圖與阻尼圖(0401地震) 145
圖5.130 SIMO台東消防分隊大樓主結構破壞後Y軸之第一振態頻率圖與阻尼圖(0401地震) 145

照片目錄
照片5.1加勁阻尼構架實際照片【20】 146
照片5.2加勁阻尼構架細部照片【20】 147
照片5.3台東消防分隊大樓 147
照片5.4器材室破壞嚴重 148
照片5.5器材室造型邊柱剪力破壞 148
照片5.6短柱剪力破壞 149

附錄目錄
附錄 A振動台試驗三層樓鋼構架加速度規配置圖 150
附錄 B台東消防分隊大樓強震儀配置圖 151
【1】McVerry, G. H., “Structural Identification in the Frequency Domain from Earthquake Records,” Int. J. of Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 8, pp. 161-180(1980).
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【4】Masri, S. F. and et al., “Non-Parametric Identification of a Class of Nonlinear Multidegree Dynamic System,” Int. J. of Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 10, pp.1-30(1982).
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