本論文中我們是以平面波展開法來計算二維光子晶體的局部能態密度(Local Density of States)。首先我們針對所使用的平面波展開法做了改進，採用對介電函數分佈取傅利葉展開的方式來計算其結構系數，在數據結果方面有收斂速度較快的優勢，所以能減少所需要處理的矩陣大小和計算時間。我們運用此方法計算光子能態密度(Density of States)對於能量上的分佈和探討對於發光效率的影響。另外我們也計算出電場和磁場的本徵模態分佈(Distribution of Eigenmode)，並據此探討能隙的形成。結合光子能態密度與本徵模態中電場的分佈，即可以進一步的計算出局部能態密度。光子晶體的局部能態密度對於考慮將活性介質嵌入光子晶體結構中時，所能產生的自發幅射衰減率有相當重要的影響，透過計算出電偶極在光子晶體中不同位置的局部能態密度，可以進一步的去考量活性介質在光子晶體中發光效率的問題，將有助於在發光二極體或是光子晶體雷射等主動式光子晶體元件方面的研究。

In this thesis, we employed the plane-wave expansion (PWE) method to calculate the local density of states (LDOS) for two dimensional (2D) photonic crystals. To improve the computing efficiency, we chose to Fourier transform the dielectric function instead of its reciprocal for the calculation of the structure factor. We first calculated the distribution of density of states (DOS) by sampling the Brillouin zones for various types of 2D photonic crystals. Meanwhile, the electric and magnetic field of the eigen modes are calculated from the eigen vectors, which are helpful in analyzing the formation of band gaps. By combining DOS and the distribution of eigen modes, we further worked out the LDOS. The LDOS is crucial in determining the decay rate of the spontaneous emission of active medium embedded in the photonic crystals. By calculating the LDOS of a dipole at different locations within photonic crystals, we can evaluate the active medium’s emitting efficiency. This result can be helpful in the research of active photonic crystals device such as light emitting diode or photonic crystal laser.

誌謝 i
摘要 ii
Abstract iii
目錄 iv
圖目錄 vi
表目錄 x
第一章 導論 1
1.1光子晶體簡介 1
1.2光子晶體之應用 4
1.3 章節概述 9
第二章 光子晶體理論基礎與計算 10
2.1光子能帶理論基礎 10
2.2平面波展開法之改進 16
2.3能帶結構與發光效率 16
第三章 二維光子晶體之能態密度與本徵模態 30
3.1 能態密度 30
3.1.1 正方晶格 35
3.1.2 三角晶格 37
3.1.3 蜂巢晶格 39
3.2本徵模態 42
3.2.1 正方晶格 42
3.2.2 三角晶格 49
3.2.3 蜂巢晶格 55
第四章 二維光子晶體之局部能態密度 61
4.1正方晶格 66
4.2三角晶格 71
4.3蜂巢晶格 75
第五章 結論 80
參考文獻 83

[1] E. Yablonovitch, Phys. Rev. Lett. 58, 2059 (1987)
[2] S. John, Phys. Rev. Lett. 58, 2468 (1987)
[3] http://www.brl.ntt.co.jp/group/butsuna-g/whatis
[4] 光子晶題專題報導，奈米科學網
http://nano.nchc.org.tw/photonic/photonic.php
[5] http://www.iom-leipzig.de/html/deu/Schwerpunkte/multilayer.cfm
[6] http://www.photonics.com/content/news/2005/November/3/
63149.aspx
[7] http://ece-www.colorado.edu/~wpark/
[8] E. Yablonovitch and T. J. Gmitter, Phys. Rev. Lett. 63, 1950 (1989)
[9] E. M. Purcell, Phys. Rev. 69, 681(1946)
[10] M. Fujita, S. Takahashi, Y. Tanaka, T. Asano, S. Noda, Science 308, 1296 2004
[11] 蔡雅芝, 物理雙月刊, 廿一卷四期, 1999年8月
[12] D. H. Kim et al, Appl. Phys. Lett. 87, 203508 (2005)
[13] M. Boroditsky, et al., Appl. Phys. Lett. 78, 1036-1038, (1999)
[14] S. G. Johnson et al., Opt. Express 9, 748 (2001)
[15] R. F. Cregan et al., Science 285, 1537 (1999)
[16] Richard De La Rue, OPN, July/August 31 (2006)
[17] Gwansu Lee et al., Optices Letter 29, 2539 (2004)
[18] S. Noda et al. Nature 407, 608 (2000)
[19] K. M. Ho et al., Phys. Rev. Lett. 65, 3152 (1990)
[20] J. B. Pendry and A. Mackinnon, Phys. Rev. Lett. 69, 2638 (1992)
[21] J. D. Jaonnopoulos, P. R. Villeneuve and S. Fan, Solid State Commu. 102, 165 (1997)
[22] Kazuaki Sakoda, “Optical Properties of Photonic Crystals” (Springer, 2001)
[23] Charles. Kittel, “Introduction to Solid State Physics” (WILEY, 1996)
[24] J. D. Joannopoulos et al., “Photonic Crystals: Molding the Flow of Light” (Princeton, 1995)
[25] R. D. Meade et al., Phys. Rev. B 48, 8434 (1993)
[26] K. Busch et al., “Photonic Crystals” (WILEY-VCH, 2004)
[27] 張瑞文, “二維光子晶體本徵模及態密度之分布”, 逢甲大學, 碩士論文, 民國95年
[28] R. L. Chern et al., Phys. Rev. E 68, 026704 (2003)
[29] 蔡岳霖,“二維光子晶體之周期平面與離面能帶結構”, 逢甲大學, 碩士論文, 民國95年
[30] D. P. Fussell et al., Phys. Rev. E 72, 046605 (2005)