我們將討論Helmholtz 邊界值問題，其基本的微分方程式為$Delta u+k^2u=0$，並且用邊界近似法(boundary approximation method)也稱之為Trefftz method解此邊界值問題。我們使用變數分離法找出Helmholtz方程式解的形式，並依此推導出任意扇型或半平面型的定義域之Helmholtz方程式顯式級數解。

Contents
1 Introduction 3
2 Bessel Function 4
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Helmholtz Equation 7
3.1 Cartesian Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3 Invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Homogeneous Solutions of Helmholtz Equation 10
4.1 Cartesian Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.1.1 Dirichlet Boundary Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.1.2 Neumann Boundary Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2.1 D-D Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2.2 N-D Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2.3 D-N Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2.4 N-N Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5 Particular Solutions of Helmholtz Equation 16
5.1 Cartesian Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.1.1 Dirichlet Boundary Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.1.2 Neumann Boundary Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.2 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.2.1 D-D Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.2.2 N-D Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.2.3 D-N Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.2.4 N-N Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6 Special cases 28
6.1 D-D Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.2 N-D Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.3 D-N Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.4 N-N Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7 The Trefftz Method 34
8 Numerical Experiment I 36
8.1 Experiment A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
8.2 Experiment B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.3 Experiment C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
8.4 Experiment D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
9 Numerical Experiment II 44
9.1 Model Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
9.1.1 Experiment A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
9.1.2 Experiment B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
9.1.3 Experiment C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
9.1.4 Experiment D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
9.2 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
10 Summary 56
A Directional Derivative 57
A.1 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
A.2 Specially Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
A.3 Rotation and Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

References
[1] Z.C. Li, H.T. Huang, J.T. Chen, Effective condition number for collocation Trefftz
methods, Technical Report, Department of Applied Mathematics, National Sun Yat-
sen University, Kaohsiung, Taiwan, 2005.
[2] Z.C. Li, Numerical Methods For Elliptic ProblemsWith Singularities, World Scientific
Publishing Co., Inc., Teaneck, NJ, 1990.
[3] Z.C. Li, T.T. Lu, H.Y. Hu and A.H.D. Cheng, Particular solutions of Laplace''s equa-
tions on polygons and new models involving mild singularities, Eng Anal Bound Elem
29 (2005).
[4] Z.C. Li, T.T. Lu, H.S. Tsai, A.H.D. Cheng, The Trefftz methods for solving eigenvalues
problems, Engrg. Anal. Boundary Elements, 2006
[5] Z.C. Li, T.T. Lu, H.Y. Hu and A.H.D. Cheng, Trefftz and collocation methods, WIT
Press, Southamption, 2006.
[6] Z.C. Li, The Trefftz method for the Helmholtz equation with degeneracy, Techni-
cal Report, Department of Applied Mathematics, National Sun Yat-sen University,
Taiwan, 2004.