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研究生:翁紹維
研究生(外文):Shao-Wei Wong
論文名稱:Helmholtz方程之顯式級數解
論文名稱(外文):Explicit Series Solutions of Helmholtz Equation
指導教授:呂宗澤
指導教授(外文):Tzon-Tzer Lu
學位類別:碩士
校院名稱:國立中山大學
系所名稱:應用數學系研究所
學門:數學及統計學門
學類:數學學類
論文種類:學術論文
論文出版年:2007
畢業學年度:95
語文別:英文
論文頁數:63
中文關鍵詞:邊界近似法
外文關鍵詞:Helmholtz equationboundary approximation methodTrefftz methodseries solutions
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我們將討論Helmholtz 邊界值問題,其基本的微分方程式為$Delta u+k^2u=0$,並且用邊界近似法(boundary approximation method)也稱之為Trefftz method解此邊界值問題。我們使用變數分離法找出Helmholtz方程式解的形式,並依此推導出任意扇型或半平面型的定義域之Helmholtz方程式顯式級數解。
Contents
1 Introduction 3
2 Bessel Function 4
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Helmholtz Equation 7
3.1 Cartesian Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3 Invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Homogeneous Solutions of Helmholtz Equation 10
4.1 Cartesian Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.1.1 Dirichlet Boundary Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.1.2 Neumann Boundary Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2.1 D-D Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2.2 N-D Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2.3 D-N Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2.4 N-N Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5 Particular Solutions of Helmholtz Equation 16
5.1 Cartesian Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.1.1 Dirichlet Boundary Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.1.2 Neumann Boundary Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.2 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.2.1 D-D Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.2.2 N-D Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.2.3 D-N Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.2.4 N-N Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6 Special cases 28
6.1 D-D Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.2 N-D Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.3 D-N Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.4 N-N Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7 The Trefftz Method 34
8 Numerical Experiment I 36
8.1 Experiment A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
8.2 Experiment B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.3 Experiment C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
8.4 Experiment D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
9 Numerical Experiment II 44
9.1 Model Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
9.1.1 Experiment A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
9.1.2 Experiment B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
9.1.3 Experiment C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
9.1.4 Experiment D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
9.2 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
10 Summary 56
A Directional Derivative 57
A.1 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
A.2 Specially Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
A.3 Rotation and Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
References
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QRCODE
 
 
 
 
 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
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