# 臺灣博碩士論文加值系統

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 本研究主要探討國小五、六年級數學資優生在解數學問題時，使用代數解題與非代數解題的表現情形，以及解題策略的運用情形，並從解題過程中探究代數和非代數之間的連結關係。本研究採用調查研究法，並輔之一對一半結構性晤談，研究對象為參加2007年亞太地區小學奧林匹亞競賽台灣區初賽成績優異，錄取的124位參加培訓的五、六年級的國小學生進行紙筆測驗，並選取參加第二階段培訓的前10名學生進行一對一半結構性晤談，研究發現如下： 大部份的數學資優生面對相關代數應用問題都能順利解題，但每一位學生的解題策略不太相同，其解題策略有應用代數式、應用算術式、圖畫表徵、嘗試錯誤，同一題也有同時使用兩種策略進行解題，顯示數學資優生各題的表現會依題目的內容與特性選擇適當的解題策略。在解題錯誤類型有未瞭解題意、未掌握未知數的表徵、列錯方程式、求不出方程式的解、圖畫表徵錯誤、計算錯誤，其中以未瞭解題意為最多。 大部份的數學資優生在代數解題與非代數解題之間連結成功的原因：（1）從算式中找出關鍵點看出代數與非代數解題的關係；（2）從圖畫表徵中察覺代數與非代數解題之間的數量關係。但有些數學資優生習慣用代數方法進行解題，對代數與非代數之間的連結能力非常薄弱，當被要求運用非代數的方法進行解題倍感困難，有關部分數學資學生直觀解題已有僵化現象發生值得重視。 最後，根據研究結果，研究者提出對數學教學及未來研究之建議以供參考。
 The purposes of this study were to investigate the performance of mathematically gifted fifth and sixth graders for whom how to apply algebraic, non-algebraic and other problem solving strategies to solve mathematical problems, and to understand the relationship between algebraic strategies and non-algebraic strategies from the process of solving problems. This was a survey study. A written test was conducted 124 subjects elected from the Pre-semifinal of Taiwan Olympiad Math competition in 2007. Then, the best 10 gifted subjects were made semi-constructed interviews for getting further information. The results of the study were showed as follows: Most mathematically gifted students could solve problems successfully, while each may apply different strategies, including the use of algebraic strategy, non-algebraic strategy, diagrammatic representation strategy, trial and error strategy, etc. They might apply two or more strategies at the same time. It showed that mathematically gifted students chose proper problem solving strategies according to different types of problems. The reasons of failure in solving problems included being unable to understand the problem, being unable to control unknown number representation, listing wrong equation, failing to solve the equation, having wrong diagrammatic representation, and miscalculation etc. The majority of the failure came from being unable to understand the problem. The reasons why most of mathematically gifted students could succeed in connecting algebraic and non-algebraic problem solving are the followings: (1) they can find the relations between algebraic and non-algebraic problem solving strategies, (2) they can see the relations of the measurement and numbers between algebraic and non-algebraic problem solving strategies from diagrammatic representation. But it is worth concerned in non-algebraic problem solving strategies that some of the mathematically gifted students perform weakly to connect algebraic and non-algebraic problem solving strategies for using algebraic solution frequently and lead to constrain the intuitive thinking way. Finally, some suggestions for teachers and future research were recommended.
 目 錄第一章 緒論1 第一節 研究動機1 第二節 研究目的與待答問題3 第三節 名詞釋義4 第四節 研究範圍與限制5第二章 文獻探討6 第一節 代數解題與非代數解題6 第二節 數學解題的意義10 第三節 影響數學解題因素之相關研究12 第四節 數學解題策略之相關研究14 第五節 代數和非代數之相關研究20第三章 研究方法與步驟27 第一節 研究方法27 第二節 研究對象29 第三節 研究工具29 第四節 研究步驟33 第五節 資料處理35第四章 研究結果與討論37 第一節 國小數學資優生代數與非代數解題情形之比較37 第二節 國小數學資優生代數應用題解題策略之分析47 第三節 國小數學資優生代數應用題解題錯誤類型之分析73 第四節 國小數學資優生代數與非代數之間連結情形分析95第五章 結論與建議158 第一節 結論158 第二節 建議160參考文獻162 一、中文部分162 二、英文部分163附錄167 附錄一 正式施測試題167 附錄二 晤談7題代數應用題171 附錄三 家長同意書175 附錄四 晤談實錄176圖 次圖3-1-1：研究架構圖28圖3-4-1：研究流程圖33圖4-2-1：筆試第20題代數解題正確類型－應用代數式48圖4-2-2：筆試第20題代數解題正確類型－混合法48圖4-2-3：筆試第20題非代數解題正確類型－應用算術式49圖4-2-4：筆試第20題非代數解題正確類型－圖畫表徵49圖4-2-5：筆試第20題非代數解題正確類型－嘗試錯誤法50圖4-2-6：筆試第21題代數解題正確類型－應用代數式53圖4-2-7：筆試第21題代數解題正確類型－混合法53圖4-2-8：筆試第21題非代數解題正確類型－應用算術式54圖4-2-9：筆試第21題非代數解題正確類型－圖畫表徵54圖4-2-10：筆試第21題非代數解題正確類型－嘗試錯誤法55圖4-2-11：筆試第22題代數解題正確類型－應用代數式56圖4-2-12：筆試第22題代數解題正確類型－混合法56圖4-2-13：筆試第22題非代數解題正確類型－應用算術式57圖4-2-14：筆試第22題非代數解題正確類型－嘗試錯誤法60圖4-2-15：筆試第23題代數解題正確類型－應用代數式62圖4-2-16：筆試第23題非代數解題正確類型－圖畫表徵63圖4-2-17：筆試第23題非代數解題正確類型－嘗試錯誤法64圖4-2-18：筆試第24題代數解題正確類型－應用代數式65圖4-2-19：筆試第24題非代數解題正確類型－應用算術式66圖4-2-20：筆試第24題非代數解題正確類型－嘗試錯誤法66圖4-2-21：筆試第25題代數解題正確類型－應用代數式68圖4-2-22：筆試第25題非代數解題正確類型－應用算術式68圖4-2-23：筆試第25題非代數解題正確類型－嘗試錯誤法69圖4-2-24：筆試第26題代數解題正確類型－應用代數式70圖4-2-25：筆試第26題非代數解題正確類型－應用算術式71圖4-2-26：筆試第26題非代數解題正確類型－圖畫表徵71圖4-2-27：筆試第26題非代數解題正確類型－嘗試錯誤法72圖4-3-1：筆試第20題代數解題錯誤類型－未看清題意74圖4-3-2：筆試第20題代數解題錯誤類型－未掌握未知數的表徵75圖4-3-3：筆試第20題代數解題錯誤類型－列錯方程式75圖4-3-4：筆試第20題非代數解題錯誤類型－未瞭解題意76圖4-3-5：筆試第20題非代數解題錯誤類型－計算錯誤76圖4-3-6：筆試第20題非代數解題錯誤類型－嘗試錯誤法77圖4-3-7：筆試第21題代數解題錯誤類型－未掌握符號表徵78圖4-3-8：筆試第21題代數解題錯誤類型－求不出方程式的解78圖4-3-9：筆試第21題非代數解題錯誤類型－未瞭解題意78圖4-3-10：筆試第22題代數解題錯誤類型－未檢核答案79圖4-3-11：筆試第22題代數解題錯誤類型－列錯方程式80圖4-3-12：筆試第22題代數解題錯誤類型－求不出方程式的解80圖4-3-13：筆試第22題非代數解題錯誤類型－未瞭解題意81圖4-3-14：筆試第22題非代數解題錯誤類型－計算錯誤81圖4-3-15：筆試第22題非代數解題錯誤類型－嘗試錯誤法82圖4-3-16：筆試第23題代數解題錯誤類型－未看清題意83圖4-3-17：筆試第23題代數解題錯誤類型－列錯方程式84圖4-3-18：筆試第23題非代數解題錯誤類型－未瞭解題意84圖4-3-19：筆試第23題非代數解題錯誤類型－圖畫表徵錯誤85圖4-3-20：筆試第24題代數解題錯誤類型－未瞭解題意86圖4-3-21：筆試第24題非代數解題錯誤類型－未瞭解題意87圖4-3-22：筆試第24題非代數解題錯誤類型－計算錯誤87圖4-3-23：筆試第25題代數解題錯誤類型－未瞭解題意89圖4-3-24：筆試第25題非代數解題錯誤類型－未瞭解題意90圖4-3-25：筆試第25題非代數解題錯誤類型－計算錯誤90圖4-3-26：筆試第26題非代數解題錯誤類型－嘗試錯誤法91圖4-3-27：筆試第26題代數解題錯誤類型－列錯方程式92圖4-3-28：筆試第26題非代數解題錯誤類型－未瞭解題意93圖4-3-29：筆試第26題非代數解題錯誤類型－圖畫表徵錯誤94圖4-4-1：S1第20題作答原案96圖4-4-2：S10第20題作答原案97圖4-4-3：S37第20題作答原案98圖4-4-4：S47第20題作答原案98圖4-4-5：S52第20題作答原案99圖4-4-6：S54第20題作答原案100圖4-4-7：S69第20題作答原案101圖4-4-8：S78第20題作答原案102圖4-4-9：S93第20題作答原案103圖4-4-10：S108第20題作答原案103圖4-4-11：S1第21題作答原案105圖4-4-12：S10第21題作答原案106圖4-4-13：S37第21題作答原案107圖4-4-14：S47第21題作答原案107圖4-4-15：S52第21題作答原案108圖4-4-16：S54第21題作答原案109圖4-4-17：S69第21題作答原案110圖4-4-18：S78第21題作答原案110圖4-4-19：S93第21題作答原案111圖4-4-20：S108第21題作答原案112圖4-4-21：S1第22題作答原案113圖4-4-22：S10第22題作答原案114圖4-4-23：S37第22題作答原案115圖4-4-24：S47第22題作答原案116圖4-4-25：S52第22題作答原案116圖4-4-26：S54第22題作答原案117圖4-4-27：S69第22題作答原案118圖4-4-28：S78第22題作答原案119圖4-4-29：S93第22題作答原案120圖4-4-30：S108第22題作答原案120圖4-4-31：S1第23題作答原案123圖4-4-32：S10第23題作答原案123圖4-4-33：S37第23題作答原案124圖4-4-34：S47第23題作答原案124圖4-4-35：S52第23題作答原案125圖4-4-36：S54第23題作答原案126圖4-4-37：S69第23題作答原案127圖4-4-38：S78第23題作答原案128圖4-4-39：S93第23題作答原案128圖4-4-40：S108第23題作答原案129圖4-4-41：S1第24題作答原案131圖4-4-42：S10第24題作答原案131圖4-4-43：S37第24題作答原案132圖4-4-44：S47第24題作答原案133圖4-4-45：S52第24題作答原案134圖4-4-46：S54第24題作答原案134圖4-4-47：S69第24題作答原案135圖4-4-48：S78第24題作答原案136圖4-4-49：S93第24題作答原案137圖4-4-50：S108第24題作答原案137圖4-4-51：S1第25題作答原案139圖4-4-52：S10第25題作答原案140圖4-4-53：S37第25題作答原案140圖4-4-54：S47第25題作答原案141圖4-4-55：S52第25題作答原案142圖4-4-56：S54第25題作答原案142圖4-4-57：S69第25題作答原案143圖4-4-58：S78第25題作答原案144圖4-4-59：S93第25題作答原案145圖4-4-60：S108第25題作答原案145圖4-4-61：S1第26題作答原案147圖4-4-62：S10第26題作答原案148圖4-4-63：S37第26題作答原案149圖4-4-64：S47第26題作答原案149圖4-4-65：S52第26題作答原案150圖4-4-66：S54第26題作答原案151圖4-4-67：S69第26題作答原案152圖4-4-68：S78第26題作答原案152圖4-4-69：S93第26題作答原案153圖4-4-70：S108第26題作答原案154表 次表 2-3-1：Polya解題歷程與解題策略表15表 2-3-2：Schoenfeld之常用解題策略表17表 3-3-1：評量計分標準表30表 3-3-2：內容效度之雙向細目表31表 3-3-3：晤談試題內容架構32表 3-4-2：研究時間進度表35表 4-1-1：筆試第20題代數與非代數答題情形38表 4-1-2：筆試第21題代數與非代數答題情形39表 4-1-3：筆試第22題代數與非代數答題情形40表 4-1-4：筆試第23題代數與非代數答題情形42表 4-1-5：筆試第24題代數與非代數答題情形43表 4-1-6：筆試第25題代數與非代數答題情形44表 4-1-7：筆試第26題代數與非代數答題情形45表 4-1-8：筆試運用代數與非代數解題情形46表 4-2-1：筆試運用代數與非代數解題正確情形73表 4-3-1：筆試運用代數與非代數解題失敗情形95表 4-4-1：晤談第20題解題與連結情形104表 4-4-2：晤談第21題解題與連結情形113表 4-4-3：晤談第22題解題與連結情形121表 4-4-4：晤談第23題解題與連結情形130表 4-4-5：晤談第24題解題與連結情形138表 4-4-6：晤談第25題解題與連結情形146表 4-4-7：晤談第26題解題與連結情形155表 4-4-8：晤談時代數與非代數的連結情形156
 一、中文部份李美蓮、劉祥通(2003)。開啟國中代數教學的新視窗。科學教育月刊，265，2-15。林香、張英傑(2004)。國小數學資優生運用畫圖策略解題之探究。國立台北師範學院學報，17（2），1-22。洪慧津(2003)。國小數學資優生和一般生數學解題的創造力與情意之探究。國立台北師範學院數理教育研究所碩士論文，未出版，台北。胡炳生(1997)。數學解題思維方法。台北市：九章。唐慧娟(2002)。國小高年級學童解題與推理思考能力相關因素之個案研究。國立屏東師範學院數理教育研究所碩士論文，未出版，屏東。張英傑、林香、朱中梧、洪慧津、施惠珍(2002)。國小數學資優兒童的解題策略探究－以小學數學奧林匹克競賽選手為例。國立台北師範學院九十一年度教育學術論文發表會手冊。張國樑(2003)。國中生代數文字題之解題歷程分析研究。國立高雄師範大學數學研究所碩士論文，未出版，高雄。郭汾派、林光賢、林福來(1989)。國中生文字符號概念的發展。國科會專題研究計劃報告(計劃編號: NSC 77-0111-S003-05A)。台北市：國立台灣師範大學數學系。陳淳(1990)。創造思考與資優兒童數學教學。台北市：心理出版社。項武義(1995)。從算術到代數。台北市：九章出版社。黃乃文(2005)。一個以函數觀點發展國中生代數思維的行動研究。國立台灣師範大學數學系碩士論文，未出版，台北市。黃志賢(2001)。原住民學生利用代數方法解題之研究。原住民教育季刊，21，17-38。黃家杰(2003)。國小一般智能資優資源班新生數學解題歷程之分析。國立中山大學教育研究所碩士論文，未出版，高雄。黃寶彰(2002)。六、七年級學童數學學習困難部分之研究。國立屏東師範學院數理教育研究所碩士論文，未出版，屏東。楊瑞智(1994)。國小五、六年級不同能力學童數學解題的思考過程。國立台灣師範大學科學教育研究所博士論文，未出版，台北市。廖瓊菁(2001)。國小六年級代數教學之研究。國立屏東師範學院國民教育研究所碩士論文，未出版，屏東。劉秋木(1996)。國小數學科教學研究。台北市：五南。劉貞宜(2001)。數學資優生的解題歷程分析－以建中三位不同能力的數學資優生為例。中華資優教育學會資優教育研究，1( 2)，97-120。劉錫麒(1992)。合作反省思考數學解題教學模式的理論基礎。花師初等教育學報，2，1-68。蔡啟禎(2004)。國小中年級資優生數學解題歷程分析。國立中山大學教育研究所碩士論文，未出版，高雄。貓頭鷹編譯小組譯(2004)。大學辭典系列10－數學辭典。台北市：貓頭鷹出版社。戴文賓、邱守榕(1999)。國一學生由算術領域轉入代數領域呈現的學習現象與特徵。科學教育，10，148-175。戴政吉、侯美玲、詹勳國(2002)。算術到代數的數學學習研究。國教天地，150，8-15。戴政吉、詹勳國、侯美玲(2003)。關於代數學習領域－91年能力指標與微型實驗教學。屏師科學教育，18，15-22。謝和秀(2001)。國一學生文字符號及代數文字題之解題研究。國立高雄師範大學數學系碩士論文，未出版，高雄。謝明昆(2001)。國二學生解數學文字題歷程之分析研究。國立高雄師範大學數學系碩士論文，未出版，高雄。顏榮義(2000)。國一一般資優生的解題歷程分析的研究。國立高雄師範大學教育研究所碩士論文，未出版，高雄。Polya, G.(2006)。怎樣解題(一版)(蔡坤憲譯)。台北市，天下遠見。(原著出版年：1957年)二、英文部份Bednarz, N. & Janvier, B. 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 1 國小五、六年級不同能力學童數學解題的思考過程 2 六、七年級學童數學學習困難部分之研究 3 國一一般資優生的解題歷程分析 4 國一學生文字符號概念及代數文字題之解題研究 5 國二學生解數學文字題歷程之分析研究 6 國小六年級代數教學之研究 7 國小數學資優生和一般生數學解題的創造力與情意之探究 8 國小中年級資優生數學解題歷程分析 9 國中生代數文字題之解題歷程分析研究 10 國小高年級學童解題與推理思考能力相關因素之個案研究 11 國小一般智能資優資源班新生數學解題歷程之分析 12 國小六年級數學資優生與ㄧ般生在學校導向數學性向測驗上的表現之比較 13 探討小六一般智能資優生在因數與倍數應用題解題策略與歷程之研究 14 家長對其子女數學資優之發掘與輔導 15 國小數學資優生代數文字題解題表現

 1 戴政吉、詹勳國、侯美玲(2003)。關於代數學習領域－91年能力指標與微型實驗教學。屏師科學教育，18，15-22。 2 戴政吉、侯美玲、詹勳國(2002)。算術到代數的數學學習研究。國教天地，150，8-15。 3 戴文賓、邱守榕(1999)。國一學生由算術領域轉入代數領域呈現的學習現象與特徵。科學教育，10，148-175。 4 劉貞宜(2001)。數學資優生的解題歷程分析－以建中三位不同能力的數學資優生為例。中華資優教育學會資優教育研究，1( 2)，97-120。 5 黃志賢(2001)。原住民學生利用代數方法解題之研究。原住民教育季刊，21，17-38。 6 李美蓮、劉祥通(2003)。開啟國中代數教學的新視窗。科學教育月刊，265，2-15。

 1 國小高年級數學資優生的幾何解題策略之探究 2 國小數學資優生和一般生數學解題的創造力與情意之探究 3 國小中年級資優生數學解題歷程分析 4 國小一般能力資優生之數學解題探究 5 國小數學資優生的解題策略探究－以圖畫表徵策略為例 6 不同教學策略對小六學童的算術解題與代數解題之影響 7 國一一般資優生的解題歷程分析 8 國小數學資優生代數文字題解題表現 9 國小教師代數解題與非代數解題之探究 10 探討小六一般智能資優生在因數與倍數應用題解題策略與歷程之研究 11 國小四年級數學資優生與一般生在數學成就測驗表現之比較 12 二位七年級資優生在數規形規的解題表現之研究 13 探討國小六年級資優生對速率問題之解題表現 14 鷹架學生的數學學習---以資優生解連比的自發性解題策略為資產 15 比較國小數學資優兒童培訓前與培訓後代數解題與數學態度之差異—以2007小學數學奧林匹亞競賽選手為例

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