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 本研究之目的在於編製一份分數減法試題，並藉由試題關聯結構分析法（IRS）對施測結果加以分析形成結構圖，以探究學童在分數減法概念的知識結構。 研究者參考國內外文獻及國小數學課程將分數減法概念細分為二個子概念，分別為：同分母分數減法和異分母分數減法；課程安排的順序是先學會同分母的分數減法，再學習異分母的分數減法；在同分母分數減法中包含四個子概念，在異分母分數減法中包含三個子概念；根據上述七個子概念，研究者發展出分數減法自編測驗。 本研究以台中市某國小一班五年級35位學童為研究對象，施測後，採用試題關聯結構理論之IRSP電腦程式進行筆測資料的分析，期能從中獲得一個班級的學童在分數減法概念的試題關聯結構圖所呈現的訊息。根據結構圖所呈現的結果，本研究獲得以下結論： 在同分母分數減法概念中，學童的概念上下位關聯為：1.「分子減法概念」-->「約分¬-求最大公因數」-->「退位+約分+整數減法概念」。2.「退位概念」-->「約分概念¬-求最大公因數」-->「退位+約分+整數減法概念」。3.「約分概念¬-分母為分子的倍數概念」-->「退位+約分+整數減法概念」。在異分母分數減法概念中，學童的概念上下位關聯為：「兩分母互質」概念-->「兩分母為倍數關係」概念-->「兩分母需求最小公倍數」概念。 綜合以上結果，並根據此結果提出若干建議，以作為教學者及未來研究之參考。關鍵詞：分數減法概念　試題關聯結構分析法
 A study on structure analysis of elementary school fifth graders’ concept of fraction subtraction Abstract This study is to create test items on fraction subtraction, and to analyze the test outcome through the related structure figures that are drawn in the Item Relational Structure (IRS) analysis. The expectation is to explore the construction process of elementary school students when they form their equivalent fraction concepts. The researcher has made references to the present math curriculum of elementary school and foreign studies, In the part of the same denominators, including four subclasses. In the part of different denominators, including three subclasses. According to the above seven subclasses, the researcher creates a test item for the perspective numerator. The study was done on a class of fifth graders of an elementary school in Taichung city. After the students took the test, the outcome was analyzed with IRSP, which was designed based on IRS with the expectation of getting information through the item relational structure analysis figure. According to the structure figure, several findings are concluded: In the part of the same denominators, the researcher has found the cognition development of the students has the following orders: 1. Concepts of numerator subtraction,--> concepts of reduction-how to get highest submultiples --> the concepts of numerator subtraction, borrowing, reduction through integral working with subtracting fractions. 2. Concepts of numerator borrowing -->concepts of reduction-how to get highest submultiples --> the concepts of numerator subtraction, borrowing, reduction through integral working with subtracting fractions. 3. The concepts of reduction- the denominator and the numerator related in multiples --> the concepts of numerator subtraction, borrowing, reduction through integral working with subtracting fractions. In the part of different denominators, the cognition development of the students has the following orders: The two denominators are the prime numbers --> the two denominators are multiple relative --> the two different denominators have to get a lowest common multiple. With the findings and the conclusion, the researcher has made some suggestions that teachers and future studies can draw references to. Keywords: fraction subtraction, Item Relational Structure Analysis
 目 次第一章 緒論.............................................1第一節 研究動機.........................................1第二節 研究目的.........................................2第三節 名詞釋義.........................................2第四節 研究範圍與限制....................................4第二章 文獻探討.........................................5第一節 認知心理學 .......................................5第二節 分數的意義與分數概念分析...........................6第三節 歷年課程在分數教材上之比較.........................13第四節 學童分數概念之相關研究.............................20第五節 試題關聯結構分析法................................24第三章 研究方法.........................................34第一節 研究架構.........................................34第二節 研究對象.........................................35第三節 研究工具.........................................35第四節 研究流程.........................................45第五節 資料處理.........................................46第四章 研究結果與分析....................................47第一節　試題性質分析......................................47第二節 試題關聯順序性係數分析.............................51第三節 同分母分數減法試題關聯結構分析......................55第四節 異分母分數減法試題關聯結構分析......................67第五章 結論與建議........................................74第一節　結論.............................................74第二節　建議.............................................76參考文獻.................................................78一、中文部分.............................................78二、外文部分.............................................81附錄....................................................83附錄一...................................................83附錄二..................................................85圖目次圖 2-2 A、B組學生試題關聯結構圖...........................28圖 2-3 試題關聯結構圖之簡化...............................31圖 3-1 研究架構圖........................................34圖 3-2 分數減法概念圖....................................36圖 3-3 分數減法試題架構圖................................37圖 3-4 分數減法知識結構概念圖.............................40圖 3-5 研究流程圖.......................................45圖 4-1 同分母分數減法試題關聯結構圖.......................56圖 4-2 分子減法概念之試題關聯結構圖.......................58圖 4-3 退位概念之試題關聯結構圖...........................60圖 4-4 約分概念-求最大公因數試題關聯結構圖.................61圖 4-5 約分概念-分母為分子的倍數試題關聯結構圖..............63圖 4-6 退位+約分+整數減法概念試題關聯結構圖................65圖 4-7 異分母分數減法試題關聯結構圖.......................68圖 4-8 兩分母互質概念之試題關聯結構圖.....................69圖 4-9 兩分母需求最小公倍數概念之試題關聯結構..............70圖 4-10 兩分母為倍數關係概念之試題關聯結構圖................72表目次表 2-1 歷年課程在分數教材上之比較一覽表....................13表 2-2 歷年課程之能力指標在各年級、階段中安排情形...........15表 2-3 分數概念相關研究一覽..............................20表 2-4 A、B 組學生試題得分情形...........................25表 2-5 A、B 組學生試題得分情形簡表........................25表 2-6 A、B組學生試題得分排序表...........................26表 2-7 A、B 組學生試題得分、人數排序表....................26表 2-8 試題 、 答對與答錯人數統計表.......................29表 2-9 試題順序性係數...................................29表 2-10 試題順序性係數...................................30表 3-1 同分母分數減法試題細目表..........................38表 3-2 異分母分數減法試題細目表..........................39表 3-3 同分母分數減法解題所需概念表.......................41表 3-4 異分母分數減法解題所需概念表.......................42表 3-5 預試試題分析總表.................................44表 4-1 測驗Cronbach’s α信度分析........................47表 4-2 試題難易度.......................................49表 4-3 試題鑑別度.......................................50表 4-4 同分母分數減法試題關聯順序性係數一覽表..............52表 4-5 異分母分數減法試題關聯順序性係數一覽表..............52表 4-6 同分母分數減法試題順序性係數0-1矩陣................54表 4-7 異分母分數減法試題順序性係數0-1矩陣................54表 4-8 同分母分數減法試題關聯結構圖之特性分析..............55表 4-9 分子減法概念分析.................................58表 4-10 退位概念分析.....................................59表 4-11 約分概念-求最大公因數之概念分析....................61表 4-12 約分概念-分母為分子的倍數概念分析...................62表 4-13 退位概念分析.....................................64表 4-14 異分母分數減法試題關聯結構圖之特性分析..............67表 4-15 兩分母互質概念分析................................69表 4-16 兩分母需求最小公倍數概念分析.......................70表 4-17 兩分母為倍數關係概念分析...........................71
 一、中文部分Booth, L. R.（1987）。分數的學習困難。科學教育月刊，100，8-16。Borowski E. J. & Borwein J. M. （1999）。數學辭典。台北：貓頭鷹出版社。Daintith, J. & Nelson, R. D.（余文卿、謝暉光譯，1997）。牛頓數學辭典。台北：牛頓出版股份有限公司。王淑芬（2005）。兒童的分數概念研究：一個國小三年級的個案。國立臺中師範學院數學教育研究所碩士論文。幼獅數學大辭典編輯小組（1983）。幼獅數學大辭典（下卷）。台北：幼獅文化事業公司。吳宏毅（2001）。台灣北部地區國小低年級學童分數概念之研究。國立台北師範學院數理教育研究所碩士論文。呂玉琴（1991）。分數概念：文獻探討。台北師院學報，4，573-606。呂玉琴（1996a）。國小教師的分數知識。國立台北師範學院學報，9，427-460。呂玉琴（1996b）。數與計算教材設計對分數概念的處理。嘉義師範學院84學年度數學教育研討會論文。國立嘉義師範學院。李端明（1997）。「分數詞」之解題活動類型：一個國小四年級兒童之個案研究。國立嘉義師範學院國民教育研究所碩士論文，未出版，嘉義。李曉莉（1998）。國小二年級兒童分數概念之研究。國立臺中師範學院國民教育研究所碩士論文。林大錦（2002）。國小三至六年級的兒童在分數詞類型發展的探討研究。國立臺中師範學院數學教育學系碩士論文。林福來、黃敏晃、呂玉琴（1996）。分數啟蒙的教與學。論文發表於認知與學習專題 研究計劃與學術研討會。嘉義縣：國立中正大學。林碧珍（1990）。從圖形表徵與符號表徵之間的轉換探討國小學生的分數概念。新竹師院學報，4，295-347。國立編譯館（2000）。國民小學數學教學指引第九冊。台北：國立編譯館。教育部（1993）。國民小學課程標準。台北：台捷。教育部（2001）。國小數學教材分析---分數的數概念與運算。台北：臺灣省國民學校教師研習會。教育部（2003）。國民中小學九年一貫課程綱要。教育部印製。莊大慶（2007）。國小學童等值分數概念發展之研究。國立屏東教育大學教育心理與輔導學系碩士論文，未出版，屏東。許天維（1995）。數學試題分析法－以「八十一學年度國民教育階段國小數學科學生基本學習成就評量」主分析為例。高雄市：大漢唐有限公司。郭生玉（1989）。心理與教育測驗。台北：精華書局。郭伯臣（1995）。無參數試題反應理論與試題順序結構分析法之多點計分整合模式。國立台中師範學院國民教育研究所碩士論文，未出版，台中市。郭伯臣、田聖才（1995）。IRSP：試題順序結構分析程式。國立台中師範學院教育測驗統計中心，未出版，台中市。陳瑞發（2002）。國小低年級學童分數概念之研究。國立台北師範學院數理教育研究所碩士論文。游政雄（2002）。台灣北部地區國小中年級學童分數概念之研究。國立台北師範學院數理教育研究所碩士論文。甯自強（1993）。分數的啟蒙～量的子分割活動的引入～。教師之友，34(3)，45-51。黃湘武（2000）。科學教育雙月刊第37期p12-16。黃靖瑩（2002）。國小中年級學童分數概念之研究。國立台北師範學院數理教育研究所碩士論文。楊壬孝（1988）。國中小學生分數概念的發展。行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告（編號：NSC-77-0111-S-003-09A）。執行單位。國立台灣師範大學數學系。楊瑞智（2000）。探究師院生之分數基本概念及分數概念的課室教學。台北市立師範學院學報，31期，357-382頁。劉秋木（2000）。國小數學科教學研究，(第五版)。台北：五南圖書出版公司。蔣治邦（1994）。由表徵觀點探討新教材數與計算活動的設計。國民小學數學科新課程概說。台北縣：臺灣省國民學校教師研習會。盧明法（1996）。國小中高年級學生幾何概念之分析研究—以van Hiele幾何發展水準與試題關聯結構分析法為探討基礎。國立台中師範學院國民教育研究所碩士論文，未出版，台中市。魏麗枝（2007）。國小三年級學童分數詞意義之研究。國立臺中教育大學教育學系碩士論文，未出版，台中。羅鴻翔譯（J.W. Heddeus著）（1980）。分數的數之發展（一）。國教之友，454,455，37-41。二、外文部分Behr, M. J., Harel, G., Post, T., & Lesh, R. (1992). Rational number, ratio, and proportion. In D.A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 297-333). New York, NY: Macmillan.Behr, M. J., Lesh, R., Post, T. R., & Silver, E. A.(1983). Rational-Number Concepts. In Lesh, R. & Landau, M. (Eds.), Acquisition of Mathematics Concepts and Processes (pp.91-126). New York: Academic Press.Behr, M. J., Wachsmuth, I., Post, T. R. & Lesh, R. (1984). Order and equivalence of rational numbers: A clinical teaching Experiment. Journal for Research in Mathematics Education, 15(5), 323-341.Bruner, J. S. (1966). Toward a theory of instruction. Cambridge, MA: Harvard University.Dickson, L., Brown, M. & Gibson. O.(1984). Children Learning Mathematics: A Teachers’ Guide to Recent Research. HOLT. 274-284.Gagné, R. M. (1997). The conditions of learning (3rd ed.). New York: Holt, Rinehart & Winston.Hunting, R. (1983). Alan: A case study of knowledge of units and performance with fractions. Journal for Research in Mathematics Education, 14(3), 182-197.Kieren, T. E.(1976). On the mathematical, cognitive and instructional foundations of rational numbers. In R. A. Lesh(Ed.), Number and measurement: Papers from a research workshop(pp. 101-144). Columbus: ERIC/SMEAC.Lesh, R. (1979). Mathematical learning disabilities: Considerations for identification, diagnosis, and remediation. In R. Lesh, D. Mierkiewicz, & M.G. Kantowski(Eds.). Applied mathematicalproblem solving. Columbus, OH: ERIC/SMEAC.Lesh, R. Behr, M. & Post, T. (1987). Rational Number Relations and Proportions. In Janvier, C(Ed.). Problems in the Teaching and Learning of Mathematics. London: New Jersey.Mack,N.K.(1995).Confounding whole-number and fraction concepts when building on informal knowledge. Journal for Research in Mathematics Education,26(5), 422-441.Nik Pa,N.A.(1987). Children’s meaning of fractional scheme. Unpublished doctoral disssertation. The University of Georgia.Ning, T. C. (1992). Children’s meanings of fractional number words. Unpublished doctoral dissertation. The University of Georgia, Athens, GA.Piaget, J., Inhelder, B., & Szeminska, A. (1960). The child’s conception of geometry. New York: Basic Book.Piaget, Jean (1977). The role of action in the development of thinking. In W. F. Overton & J. Gallagher (Eds.), Knowledge and development: Bol. 1, Advances in research and theory (pp. 17-42). New York: Plenum.Post, T. R., Wachsmuth, I.m. Lesh, R. & Behr, M. J., (1984). Order and Equivalence of Rational Numbers: A Cognitive Analysis. Journal for Research in Mathematics Education, 16(1), 18-36.Saenz-Ludlow, A. (1994). Michael’s fraction schemes. Journal for Research in Mathematics Education, 25, 50-80.竹谷誠(1991)。新・テスト理論。東京：早稻田大學出版部。佐藤隆博(1982)。S-P表の活用。東京：明智圖書出版株式會社。
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 1 國小教師分數教學之相關知識研究 2 國小低年級學童分數概念之研究 3 國小中年級學童分數概念之研究 4 無參數試題反應理論與試題順序結構分析法之多點計分整合模式 5 國小二年級兒童分數概忿之研究 6 台灣北部地區國小中年級學童分數概念之研究 7 台灣北部地區國小低年級學童分數概念之研究 8 兒童的分數概念研究:一個國小三年級的個案 9 電子白板的概念構圖教學應用於小六自然科之成效探究與知識結構分析 10 國小三至六年級的兒童在分數詞類型發展的探討研究 11 國小學童等值分數概念發展之研究 12 國小三年級學童分數詞意義之研究 13 國小高年級學童分數加減法之概念探討─S-P表及加權多元計分IRS整合分析 14 國小六年級學童真分數乘法概念結構分析之研究 15 國小六年級學童分數概念試題結構分析之研究

 1 6. 周建新、于鴻福、廖盈秋（2004），“極值理論與台股指數期貨合理保證金之估計，交大管理學報，第二十四卷，第一期，23-53頁。 2 林碧珍（1990）。從圖形表徵與符號表徵之間的轉換探討國小學生的分數概念。新竹師院學報，4，295-347。

 1 試題關聯結構分析法在診斷分數概念上的應用-以國小四年級學童為例- 2 國小六年級學童最簡分數概念結構分析之研究 3 國小六年級學童分數加法概念結構分析之研究 4 國小四年級學童小數轉換分數概念結構分析之研究 5 試題關聯結構在加減法文字題概念知識之分析研究－以國小二年級學童為例 6 試題關聯結構分析應用於瞭解學童解整數減法文字題之研究-以國小三年級學童為例 7 國小四年級分數概念之理解情形與試題關聯分析 8 國小五年級學童分數除法概念結構分析之研究 9 國小六年級學童真分數乘法概念結構分析之研究 10 國小學童分數之倍數運算的結構分析 11 基於次序理論與邏輯流量測驗在國小分數減法之診斷研究 12 國小高年級學童分數概念與能力之研究 13 應用多元計分試題關聯結構分析國小三年級數與量概念層級結構 14 教師知識結構評量與學童學習成就之相關研究—以同分母分數加減為例 15 試題關聯結構與邏輯流量測驗在梯形面積概念圖上之診斷分析

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