本研究主要是利用剛體運動法則及力平衡此二項基本的力學原理，推導梁結構的幾何非線性應變能。本文首先藉由剛體運動法則，建立在剛體增量位移條件下，梁結構外力在2C狀態所作的增量虛功，並藉著增量虛功恆等式求得在給定剛體增量位移條件下梁的幾何非線性虛應變能，此應變能滿足剛體運動法則。接著利用梁結構外力在1C狀態及2C狀態的力平衡關係式，求得在剛體虛位移的條件下，梁結構外力所作的增量虛功，並藉由增量虛功恆等式，求得在給定剛體虛位移條件下，梁結構幾何非線性虛應變能，此虛應變能滿足力平衡方程式。最後建立一推導邏輯，由上述分別在給定剛體增量位移及給定剛體虛位移狀況下建立的兩條幾何非線性虛應能，求得以增量位移及虛位移表示的完整幾何非線性虛應變能積分式。

The rigid body motion rule and the incremental force equilibrium rule are adopted to derive the geometrically nonlinear strain energy for the beam structure and such an approach is simple. In this research, we propose to derive the incremental virtual work done by extra forces in 2C state when an incremental rigid body displacement is superimposed using the rigid body motion rule. Using the equality for the incremental virtual work, the geometrically nonlinear strain energy for the beam structure can be obtained when superimposed an incremental rigid body displacement. This strain energy obtained following this procedure should obey the rigid body motion rule automatically. Further, the incremental virtual work done by the extra forces for the beam structure can be obtained by considering the force equilibrium conditions for the beam under 1C state and 2C state when superimposed a virtual rigid body displacement. Similarly, the geometrically nonlinear strain energy for the beam structure can be obtained when superimposed a virtual rigid body displacement by using the virtual work equality. The strain energy obtained by this procedure should satisfy the incremental force equilibrium rule automatically. At last, creating a method. By the geometrically nonlinear strain energies obtained from the above-mentioned two procedures, the complete geometrically nonlinear strain energy can be obtained for incremental displacement and virtual displacement.

謝誌 Ⅰ
摘要 Ⅱ
Abstract Ⅲ
目　錄 Ⅳ
圖目錄 Ⅵ

第一章　緒論
　1.1　研究動機與文獻回顧 1
　1.2　研究內容 2
第二章　剛體運動與增量力平衡之基本原理
　2.1　前言 4
　2.2　增量虛功方程式 4
　　2.2.1　虛功原理 4
2.2.2　Lagrangian 推演法之增量虛功方程式 7
　2.3　剛體運動法則 10
　　2.3.1　增量虛功方程式滿足剛體運動之條件方程式 12
　2.4　增量力平衡方程式 13
2.4.1　增量虛功方程式滿足增量力平衡之條件方程式 15
2.5　剛體運動與增量力平衡之應用 16
第三章　空間直梁之幾何非線性虛應變能
　3.1　前言 30
　3.2　空間直梁元素定義 30
　3.3　外力所做增量虛功項 32
　3.4　 狀態直梁斷面力之平衡方程式 34
　3.5　剛體位移之增量虛功 -應用剛體運動法則 38
　　3.5.1　剛體運動法則 38
　　3.5.2　剛體增量力 38
　　3.5.3　剛體位移之增量虛功 39
　3.6　剛體虛位移之增量虛功 -應用增量力平衡 43
　　3.6.1　增量力平衡方程式 43
　　3.6.2　剛體虛位移之增量虛功 45
　3.7　幾何非線性虛應變能 48
　　3.7.1　幾何非線性虛應變能之推導邏輯 48
　　3.7.2　直梁幾何非線性虛應變能 51
第四章　空間曲梁之幾何非線性虛應變能
　4.1　空間曲梁元素定義 64
　4.2　 狀態曲梁斷面力之平衡方程式 65
　4.3　剛體位移之增量虛功 -應用剛體運動法則 70
　　4.3.1　剛體運動法則 70
　　4.3.2　剛體位移之增量虛功 73
　4.4　剛體虛位移之增量虛功 -應用增量力平衡 76
　4.5　空間曲梁幾何非線性虛應變能 78
第五章　結論與展望
　5.1　結論 88
　5.2　展望 89

附錄A 90
參考文獻 95

圖目錄

圖2-1　可變形結構體的虛變位 18
圖2-2 剛體虛變位之應用 19
圖2-3　剛體虛變位示意圖 20
圖2-4　物體的運動過程 21
圖2-5　物體1C狀態至2C狀態的增量變形 22
圖2-6　承受初始荷載之桿件 23
圖2-7　受軸力作用梁元素之剛體運動 24
圖2-8　剛體運動示意圖 25
圖2-9　剛體運動法則之推導流程 26
圖2-10　平面梁元素之增量變形示意圖 27
圖2-11　虛功方程式之增量力平衡之推導流程 28
圖2-12　剛體運動與增量力平衡之應用概念 29
圖3-1　梁結構幾何非線性虛應變能之簡易推導流程 55
圖3-2　空間直梁梁元素自由度示意圖 56
圖3-3　二維梁之平面斷面假設 57
圖3-4　 狀態梁桿件表面分佈力積分示意圖 58
圖3-5　圍繞 斷面之邊界曲線 59
圖3-6　 狀態梁桿件表面分佈力積分示意圖 60
圖3-7　空間直梁元素示意圖 61
圖3-8　梁元素斷面力連結示意圖 62
圖3-9　 狀態 斷面與節點 向量關係圖 63
圖4-1　空間曲梁自由度示意圖 83
圖4-2　曲梁座標 84
圖4-3　空間曲梁座標與直梁座標示意圖 85
圖4-4　向量 、 、 與x、y、z座標及1、2、3座標示意圖 86
圖4-5　空間曲梁與直梁自由度示意圖 87

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