# 臺灣博碩士論文加值系統

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 令圖形G 是個有q 個邊(edges)的圖, 且f 是將V(G)對應到{0, 1, 2, · · · , q}的一對一函數.假設邊e的兩個端點為u 和v,則我們稱| f(u) − f(v) |為e的值.如果f 對G 的q個邊所產生的值都不一樣,則我們稱f 為β-標號.現今β-標號又常被稱為完美標號(Gracefullabeling).令函數f 為圖形G 的一個β-標號, 若存在一個正整數λ, 此正整數λ稱為臨界值(critical value), 使得對每一個G 上的uv, 皆滿足f(u) ≤ λ < f(v) 或f(v) ≤ λ < f(u) 的條件, 則我們稱f 為G 的α-標號.若一個二分圖G定義在A∪B, 其中點集合A = {a0, a1, a2, · · · , aℓ-1},B = {b0, b1, b2, · · · ,bℓ-1}, 且A ∩ B =∅.令r和ℓ為兩個正整數,如果滿足對於每一個i ∈ Zℓ, ai皆與bj相連, 若且唯若j ∈ {i, i + 1, i + 2, · · · , i + r − 1}(modℓ), 則我們稱G = (A,B)為(r, ℓ)-皇冠圖.若r為偶數, 我們則稱G為偶數度(r, ℓ)-皇冠圖.在此篇論文中, 我們證明若r ≥ 6 , 則偶數度(r, 2r−4)-皇冠圖有一個α-標號.
 Let G be a graph with q edges, and f be an injection from V (G) into {0, 1, 2, · · · , q}.We call f is a β-labeling of G, if the values | f(u)−f(v) | for the q pairs of adjacent verticesu and v are distinct. A β-labeling is now more commonly called a graceful labeling.An α-labeling is a graceful labeling having the additional property that there is aninterger λ which is called a critical value so that for each edge {u, v} ∈ E (G) eitherf(u) ≤ λ < f(v) or f(v) ≤ λ < f(u).A bipartite graph G is defined on A ∪ B , which A = {a0, a1, a2, · · · , aℓ-1} , B ={b0, b1, b2, · · · , bℓ-1}, and A∩B =∅. Let r and ℓ be two positive integers , for each i ∈ Zℓ,ai is adjacent to bj if and only if j ∈ {i, i+1, i+2, · · · , i+r−1}(mod ℓ) then G = (A,B)is called an (r, ℓ)-crown. An (r, ℓ)-crown is said to be even-degree if r is even.Otherwise,it is odd-degree.In this thesis, we prove that for each even integer r ≥ 6, an even-degree (r, 2r − 4)-crown has an α-labeling.
 中文摘要 IAbstract II誌謝 IIIcontents IVList of Figures V1 Introduction 11.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 The Preliminaries in Graph Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 The Preliminaries in Vertex-Labeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 The Main Result 73 Concluding Remark 34References 35List of Figures1 G is a(4, 12)-crown. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 A graceful labeling. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 An α-labeling of K4,5 with the critical value λ = 4. . . . . . . . 54 An α-labeling of P3,P4,P5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 An α-labeling of caterpillar(λ = 7). . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Graceful labeling of K2,K3 and K4. . . . . . . . . . . . . . . . 67 An α-labeling of Q3(λ = 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 ~G(~G is a (6, 8) − crown). . . . .. . . . . . . 89 An α-labeling of (6, 8)-crown. . . . . . . . . . . . . . . . . . 910 An α-labeling of (8, 12)-crown. . . . . . . . . . . . . 911 An α-labeling of (10, 16)-crown. . . . . . . . . . . . . . .. . . 912 ~G (if r ≥ 12). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013 f (di). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114 ~G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715 f [c2r-8]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816 f [c1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1917 f [c2r-5]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1918 f [c2r-7]. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 2019 f [H1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2120 f [H2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2321 f [H3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2422 f [H4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2523 f [H5]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2724 f [H6]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2925 An α-labeling of (12, 20)-crown. . . . . . . . . . . . . 3126 An α-labeling of (14, 24)-crown. . . . . . . . . . . . .. . . . 3227 An α-labeling of (16, 28)-crown. . . . . . . . . . . . . . . 33
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 1 奇數度(r, 2r − 6)-皇冠圖的α-標號 2 奇數度(r,2r−6)-皇冠圖的α-標號 3 偶數度(r,2r−6)-皇冠圖的α-標號 4 奇數度(r,2r−4)−皇冠圖的α-標號 5 偶數度皇冠圖的α-標號 6 奇數度皇冠圖的α-標號 7 皇冠圖的α-標號

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