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研究生:簡嘉玟
論文名稱:利用APOS和PCDC改進數學教學之行動研究---以乘法公式為例
論文名稱(外文):Using APOS, PCDC and action research to improve teaching and learning of multiplicative identities
指導教授:張靜嚳張靜嚳引用關係
學位類別:碩士
校院名稱:國立彰化師範大學
系所名稱:科學教育研究所
學門:教育學門
學類:普通科目教育學類
論文種類:學術論文
論文出版年:2009
畢業學年度:97
語文別:中文
論文頁數:162
中文關鍵詞:APOSPCDC乘法公式數學教學
相關次數:
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摘 要
本研究的目的在於利用APOS和PCDC改進自我教學與探討乘法公式的學習成效。本研究採行動研究法,共有兩階段。階段一:探索和熟悉PCDC教學及APOS融入PCDC的教學。以一班國一常態班進行約一年半的PCDC教學實驗,期間並嘗試將APOS融入PCDC教學的實務中。階段二:正式教學實驗。以一班國二常態班為實驗組,另一班程度相近的國二常態班為控制組,進行約一個月的APOS融入PCDC的乘法公式教學實驗。資料收集包含錄影、錄音、反思日誌、數學週記、學習單、開放式情意問卷、分組意願調查表、晤談和認知需求量表等,並做質和量的資料分析。
研究結果發現,利用APOS融入PCDC的教學模式改進教學是可行的,融入APOS之後能使PCDC精緻化,在細節上更知道如何進行。在教學環的實施要把握任務、引導、環境、分析四項要領:(一)任務,在教材的編寫上,要先對現有的概念進行生成分解,再賦予日常生活情境。(二)引導,有效的提問有助於內化和膠囊化。促進內化的有效提問有「為什麼?」、「下一步呢?」等;促進膠囊化的有效提問有「發現什麼共同的計算規則?」、「比較這些方法的優缺點?」等。(三)環境,分組的座位安排有助於討論和行動的進行。(四)分析,可以APOS理論作為架構來分析學生概念發展的情形。在學習環方面,可以依「了解任務」、「進行解題」、「概念了解」、「建立個體基模」、「強化個體基模」、「檢驗個體基模」等六個步驟幫助學生學習新知。本研究除了找到APOS融入PCDC的一些原則之外,也發現不同程度的學生有不同的學習軌道。此外,利用APOS融入PCDC的教學模式進行教學後發現,學生能更深入了解乘法公式,且在學習的態度上也有正向的轉變,學生更喜愛思考,也更喜歡數學了。

關鍵詞:APOS、PCDC、乘法公式、數學教學
Using APOS, PCDC and Action Research to Improve Teaching and Learning of Multiplicative Identities
by
Chia-Wen Chien

Abstract
The purpose of this study was to improve my own teaching and my students’ learning of Multiplicative Identities by using APOS and PCDC in a junior high school. This study was conducted by action research and included two phases. In the phase one: Exploring and knowing the PCDC instructional model and trying to integrate the APOS into the PCDC practice. I implemented the PCDC teaching in a class of seventh grade for one and a half year, and also attempted to integrate the APOS into the PCDC teaching practice in this period. In the phase two: teaching experiment of Multiplicative Identities. A class of eighth grade was the experiment group and an another class of eighth grade in the same school was the control group. The experiment took about one month for implementing APOS integrated into PCDC teaching of Multiplicative Identities. The data collection included video tapes, audio tapes, reflection diary, and journals, learning sheets, open-ended affective questionnaires, interviews and a survey of cognitive need. The data analysis included qualitative and the quantitative analysis.
The results showed that using APOS integrated into PCDC to improve teaching and learning of mathematics worked very well. Integrated APOS into PCDC could elaborate the PCDC instructional model and made teachers know how to implement the model in detail. The four elements of the teaching cycle in the PCDC could be elaborated as the followings. First, Task: we should make genetic decomposition of the existing concepts first, and endow the materials with real life situation while designing the teaching materials. Second, Guidance: open questioning enhanced the internalization and encapsulation. “Why?”, “Next step?” are questions which promoted internalization; the questions of “What did you find the common computing rules?” and “Could you compare the advantages and disadvantages of these ways?” encouraged the encapsulation; Third, Environment: the seats of every group were helpful to the discussion and action; Fourth, Analysis: using APOS as the theoretical framework to analyze students’ conception development.
In learning cycle, six steps for helping students learn new mathematical knowledge were: understand the task, solve the problem, understand the conception, build individual’s schema, strengthen individual’s schema, and examine individual’s schema. Moreover, we not only found some principles for integrating APOS into PCDC, but also found that different students prefer different learning trajectories of the Multiplicative Identities. Furthermore, compared to the control group, we found that the experiment group understood the Multiplicative Identities deeply, their learning attitude changed forward positive attitudes and love mathematics and thinking more

Key word: APOS, PCDC, Multiplicative Identities, Mathematics teaching
目 錄

摘要………………………………………………………………………………Ⅰ
目錄………………………………………………………………………………Ⅲ
圖次………………………………………………………………………………Ⅳ
表次………………………………………………………………………………Ⅵ
附錄次……………………………………………………………………………Ⅶ
第 一 章 緒論 ………………………………………………………………… 001
第一節 研究背景與動機…………………………………………………… 002
第二節 研究目的與待答問題……………………………………………… 007
第三節 名詞解釋…………………………………………………………… 007
第四節 研究限制…………………………………………………………… 009
第 二 章 文獻探討 …………………………………………………………… 010
第一節 APOS 理論 ………………………………………………………… 010
第二節 PCDC 教學模式 ………………………………………………… 016
第三節 APOS融入PCDC的實徵性研究 …………………………………… 021
第四節 乘法公式及其實徵性研究………………………………………… 024
第 三 章 研究方法 …………………………………………………………… 033
第一節 研究設計與流程…………………………………………………… 033
第二節 研究對象的選取與背景…………………………………………… 037
第三節 研究工具…………………………………………………………… 037
第四節 資料分析…………………………………………………………… 044
第 四 章 研究結果與討論 ………………………………………………… 046
第一節 我的APOS結合PCDC的教學模式………………………………… 046
第二節 國二學生進行乘法公式的學習軌道……………………………… 076
第三節 國二學生進行乘法公式的學習成效……………………………… 085
第 五 章 結論與建議 ………………………………………………………… 128
參 考 文 獻 …………………………………………………………………… 133
附 錄 …………………………………………………………………………… 138
圖 次
圖2-1 數學知識的心智結構……………………………………………………012
圖2-2 概念形成的過程 ……………………………………………………… 014
圖2-3 PCDC教學模式………………………………………………………017
圖2-4 問題中心教學模式………………………………………………………017
圖2-5 數學的創造與再生環……………………………………………………018
圖2-6 學習環……………………………………………………………………018
圖2-7 ACE教學環……………………………………………………………020
圖2-8 乘法公式教材地位………………………………………………………025
圖2-9 以幾何面積表徵乘法對加法的分配律…………………………………026
圖3-1 教學實驗的實施步驟……………………………………………………033
圖3-2 研究架構…………………………………………………………………034
圖3-3 研究進度甘梯圖…………………………………………………………035
圖3-4 研究流程圖………………………………………………………………036
圖3-5 乘法公式新教材地位……………………………………………………038
圖3-6 分配律之膠囊化…………………………………………………………039
圖3-7 右分配律之生成分解……………………………………………………039
圖3-8 分配律之應用……………………………………………………………040
圖4-1 黑板計分表………………………………………………………………059
圖4-2 學生上台報告……………………………………………………………061
圖4-3 以物易物的情境…………………………………………………………062
圖4-4 學生S21的作答………………………………………………………… 064
圖4-5 學生S25的作答………………………………………………………… 064
圖4-6 值域與定義域對應關係……………………………………………… 066
圖4-7 APOS融入PCDC的教學模式…………………………………………… 072
圖4-8 S20的作答情形 ……………………………………………………… 078
圖4-9 S35的作答情形 ……………………………………………………… 078
圖4-10 S4的作答情形 ……………………………………………………… 078
圖4-11 國二學生學習右分配律的學習軌道………………………………… 079
圖4-12 S12的作答情形 …………………………………………………… 079
圖4-13 S20的作答情形 …………………………………………………… 079
圖4-14 S15的作答情形 …………………………………………………… 079
圖4-15 S35的作答情形 …………………………………………………… 080
圖4-16 S4的作答情形 ……………………………………………………… 080
圖4-17 國二學生學習(a+b)(c+d)的學習軌道…………………… 080
圖4-18 S11的作答情形 …………………………………………………… 081
圖4-19 S9的作答情形 ……………………………………………………… 081
圖4-20 國二學生學習 的學習軌道 …………………………………………082
圖4-21 S15的作答情形……………………………………………………… 082
圖4-22 S20的作答情形……………………………………………………… 082
圖4-23 國二學生學習 的學習軌道………………………………………… 083
圖4-24 S11的作答情形………………………………………………………083
圖4-25 S12的作答情形………………………………………………………083
圖4-26 國二學生學習(a+b)(a-b)的學習軌道………………………084
圖4-27 學生S1作答情形………………………………………………………090
圖4-28 學生S1作答情形………………………………………………………091
圖4-29 紙衣紙褲的組合搭配………………………………………………… 093
圖4-30 學生S10操作紙衣紙褲……………………………………………… 093
圖4-31 第三組上台發表的內容 ………………………………………………094
圖4-32 第八組上台發表的內容 ………………………………………………095
表 次
表2-1 操作性概念與結構性概念、APOS以及過程概念之比較 ……………016
表2-2 教學模式之比較…………………………………………………………021
表2-3 乘法公式之能力指標、分年細目與說明………………………………025
表2-4 康軒、南一、翰林版乘法公式教材之比較……………………………027
表3-1 資料編碼介紹表…………………………………………………………044
表3-2 待答問題與資料來源之對照……………………………………………045
表4-1 一元一次方程式學習單與MIT教材之對照表-1………………………053
表4-2 一元一次方程式學習單與MIT教材之對照表-2………………………054
表4-3 喜愛不同分組方式的人數百分比統計表………………………………057
表4-4 喜悪各分組方式的原因與人數統計表…………………………………058
表4-5 數學週記的評分方式……………………………………………………069
表4-6 學生S1逐步數學化的過程 …………………………………………… 075
表4-7 學生解題策略的轉變……………………………………………………089
表4-8 (a+b)3不同解題策略人數百分比統計表 …………………………099
表4-9 因式分解的解題表現……………………………………………………101
表4-10 促進物件化的提問 ……………………………………………………102
表4-11 進階思考前後的解題表現之比較 ……………………………………103
表4-12 利用APOS理論分析學生乘法公式概念發展階段……………………106
表4-13 (x+1)(x2-x+1)的概念發展分析表…………………………………107
表4-14 (3x+4)2 的概念發展分析表 ………………………………………108
表4-15 (2x-5)2的概念發展分析表…………………………………………109
表4-16 (x+7)(x-7)的概念發分析表…………………………………110
表4-17 兩組學生延宕測(高階題)答對人數百分比統計表………………111
表4-18 兩組學生延宕測答(基本題)答對人數百分比統計表……………111
表4-19 兩組學生後測與延宕測物件化比率之比較 …………………………112
表4-20 兩組學生延宕測與後測答對率之比較 ………………………………113
表4-21 實驗組教學前數學態度人數百分比統計表 …………………………115
表4-22 學生對未來的數學課的期待之人數統計表………………………… 116
表4-23 實驗組教學後數學態度數百分比統計表 ……………………………116
表4-24 實驗組實驗前後思考意願之t檢定 ………………………………… 122
表4-25 一個月與一年半小組合作教學思考意願之t檢定 ………………… 122
表4-26 「本研究」與「蔡玉玲」乘法公式教材之比較……………1………123
表4-26「本研究」與「蔡玉玲」乘法公式教材之比較(續)………………124
表5-1 乘法公式的學習軌道整理表……………………………………………130
附 錄 次
附 件 一 乘法公式學習單 ……………………………………………………138
附 件 二 活動教案 ……………………………………………………………147
附 件 三 數學週記 ……………………………………………………………155
附 件 四 開放式情意問卷前後測 ……………………………………………156
附 件 五 分組方式意願調查表 ………………………………………………158
附 件 六 小組工作分配表 ……………………………………………………159
附 件 七 後測評量單 …………………………………………………………160
附 件 八 延宕測評量單 ………………………………………………………161
附 件 九 認知需求量表 ………………………………………………………162
一、 中文部份
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二、 西文部份
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