臺灣博碩士論文加值系統

本文主要的目的在於介紹數學軟體Mathematica (5.2)的基本語法、指令以及程式設計，並將之應用到代數、微積分、線性代數、機率統計的解題。希望能藉由軟體
的輔助提昇讀者學習數學的興致，且能利用軟體來驗證常見的定理，解決所面臨的數學問題。

This paper main goal is to introduce the basic language and programming styles
of the mathematical software Mathematica (5.2), and applies it to solve problems
in algebra, calculus, linear algebra, probability and statistics. We hope
readers can enhance the interest of learning mathematics by the aid of software,
verify the common theorem using the software, and solving mathematical problems.

中文摘要x
Abstract x
第一章前言1
第二章介紹2
2.1 前端和內核. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 儲存格. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.3 特殊規則. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.4 輸入方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.4.1 文字模式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.4.2 面版模式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.5 內建數學函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.6 定義變數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.7 自訂函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.8 線上幫助. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.9 附加程式庫. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
第三章陣列9
3.1 生成陣列. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1.1 等差數列. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1.2 規則數列. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1.3 隨機數列. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 運算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2.1 陣列元素. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2.2 重排. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2.3 重組. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2.4 修改. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3 複數陣列. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3.1 集合運算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
第四章基本作圖16
4.1 二維作圖. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.1.1 數學曲線作圖. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.1.2 PlotStyle選項用法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.3 多圖的處理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2 更多的二維作圖. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.1 資料點作圖. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.2 特殊圖. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 二維圖型的基本元素. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3.1 點. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3.2 線. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3.3 長方形. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3.4 多邊形. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3.5 圓. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3.6 圓盤. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4 三維作圖. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4.1 數學曲面、曲線作圖. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4.2 特殊的三維圖形. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.5 三維圖形的基本元素. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5.1 點. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5.2 線. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5.3 長方體. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5.4 多邊形. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.6 其餘圖形指令. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.6.1 等高線圖. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.6.2 密度圖. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.7 習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
第五章程式設計58
5.1 函數化程式設計. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.1.1 函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.1.2 純函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1.3 表達式處理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.1.4 迭代函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.1.5 模組. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.2 程序化程式設計. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2.1 迴圈及迭代. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2.2 流程控制. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3 規則化程式設計. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3.1 取代. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3.2 型樣. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
第六章基本代數76
6.1 化簡計算結果. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.1.1 四則運算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.1.2 基本數學函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.1.3 求和、求積. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.1.4 數值化. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2 質數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.3 因數和倍數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.4 多項式的運算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.4.1 多項式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.4.2 運算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.4.3 分式函數運算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.5 方程式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.5.1 直接解根. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.5.2 所有數值根. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.5.3 數值方法解根. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.5.4 邏輯解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.6 不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.7 遞迴方程式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.8 三角函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.9 習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
第七章微積分106
7.1 極限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.1.1 利用圖形和表格來預測極限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.1.2 計算極限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.2 微分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2.1 微分的定義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2.2 微分的計算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2.3 隱函數微分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.2.4 極值問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.3 積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.3.1 黎曼和. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.3.2 定積分與不定積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.3.3 定積分的近似. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.3.4 積分的應用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.4 級數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.4.1 泰勒級數與馬克勞林級數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.5 多變數積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.5.1 多變數積分的應用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.6 習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
第八章線性代數138
8.1 向量和矩陣. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.2 運算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.2.1 線性方程組. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8.2.2 行列式值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8.2.3 特徵值及特徵向量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.2.4 矩陣的對角化及Jordan form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.3 習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
第九章機率統計157
9.1 機率分佈. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.1.1 均勻分佈. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.1.2 離散型分佈. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.1.3 連續型分佈. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.2 隨機變數的生成與模擬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
9.2.1 簡單實驗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
9.2.2 蒙地卡羅法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
9.3 敘述統計. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
9.3.1 單變數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
9.3.2 多變數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
9.4 資料處理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9.4.1 次數(整數型態資料) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9.4.2 次數(實數型態資料) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.4.3 資料平滑. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
9.5 信賴區間. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
9.5.1 期望值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
9.5.2 二樣本期望值差. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
9.5.3 變異數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
9.6 假設檢定. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9.6.1 期望值檢定. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9.6.2 二樣本期望值差檢定. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
9.6.3 變異數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
9.7 迴歸分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
9.7.1 線性迴歸. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
9.8 習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
A 常用Mathematica分類命令183
A.1 基本命令. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
A.2 繪圖. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
A.3 程式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
A.4 代數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
A.5 微積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
A.6 線性代數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
A.7 機率與統計. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
A.8 數論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
參考文獻195
索引195

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