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臺灣博碩士論文加值系統

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研究生:胡偉元
研究生(外文):HU, WEI-YUAN
論文名稱:有限區間單峰分配之Beta近似
論文名稱(外文):A Beta approximation of unimodal density in finite interval
指導教授:李孟峰李孟峰引用關係
指導教授(外文):LI, MENG-FENG
學位類別:碩士
校院名稱:國立臺北大學
系所名稱:統計學系
學門:數學及統計學門
學類:統計學類
論文種類:學術論文
論文出版年:2009
畢業學年度:97
語文別:中文
論文頁數:41
中文關鍵詞:可靠度可靠度之相信程度Beta分配Beta近似數值的
外文關鍵詞:reliabilitybelieved-reliabilityBeta distributionBeta approximationnumerical
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可靠度是元件或系統在一特定時間內可以正常作用的機率值。當元件壽命分配未知時,系統可靠度 Rs(t)=P{T≥t} 之估計方法為非參數的估計方法。以抽樣來測試元件,可靠度會隨著的抽樣而有所誤差,為了加以掌握可靠度的變動情形,將可靠度視為一具有 Beta 分配的隨機變數,又稱為可靠度之相信程度 (believed-reliability)。本研究利用數值方法,對於兩元件在時間 t 的可靠度為兩獨立的隨機變數 X~Beta(α1,β1), Y~Beta(α2,β2) 其中 α1, β1, α2, β2 > 0 時,找出與 Z=XY 機率密度函數的 L1-norm 最小的 Beta 機率密度函數,作為 Z=XY 之近似分配,以計算系統之可靠度。本文先討論兩元件串聯的情形,找出可靠度的 Beta 近似,再將其推廣至 n 個元件串聯及並聯的情形。由串聯模式、並聯模式、串並聯模式及並串聯模式所構成之系統,皆可利用上述方法求出總系統可靠度之 Beta 近似。
Reliability is the probability that a component or a system can function at designed level during some specified period of time. When the distribution of component lifetime is unknown, nonparametric methods are used to estimate the system reliability, Rs(t)=P{T≥t}. Due to the randomization of sampling, the reliability of a component varies from lot to lot. In order to describe further the variation and uncertainty of the reliability, it can be viewed as a random variable, also called believed-reliability, which is often assumed to be distributed as a Beta distribution. The purpose of this research is to present a numerical method to evaluate system believed-reliability by component believed-reliabilities under the circumstance that components distributed as Beta function independently and through the system structure function.

Let the believed-reliabilities of two components at time t be independent random variables X~Beta(α1,β1) and Y~Beta(α2,β2), α1, β1, α2, β2 > 0. This research first discusses the case of a series composed of two components to find the Beta approximation for the believed-reliability, Z=XY by minimizing the L1-norm between the density functions, and then extends it to the case of the series and parallel composed of n components. The Beta approximation of the believed-reliability for the system composed of series, parallel, series-parallel and parallel-series configuration can be derived by the previous methods.
目錄

誌謝 I
國立臺北大學九十七學年度第二學期碩士學位論文提要 II
ABSTRACT III
目錄 IV
圖目錄 VI
表目錄 VII
第一章 緒論 1
1.1 研究背景與動機 1
1.2 研究目的與流程 2
1.3 研究架構 3
第二章 文獻回顧 4
2.1 系統可靠度的估計 4
2.2 BETA分配的參數估計 5
2.3 數值方法 9
第三章 研究方法 11
3.1 兩獨立BETA分配隨機變數乘積的分配 11
3.2 兩獨立BETA隨機變數乘積之BETA近似 17
3.3 串聯系統的可靠度 18
3.4 並聯系統的可靠度 20
3.5 串並聯系統與並串聯系統的可靠度 21
3.6 數值方法概述 23
3.7 敏感度分析 24
第四章 研究結果 28
4.1 Z=XY 之 BETA 近似 28
4.2 誤差函數 h(α,β) 圖形的檢視 28
4.3 ALPHA SYSTEM 的可靠度 30
第五章 結論 38
參考文獻 39
附錄 41

圖目錄

圖 3-1:α1=β1=α2=2,β2 變動的 fz(z) 圖形。 13
圖 3-2:α1=β1=β2=2,α2 變動的 fz(z) 圖形。 13
圖 3-3:X~Beta(15,4), Y~Beta(10,5), Z=XY Beta 機率密度函數的圖形。 14
圖 3-4:X~Beta(1.2,2), Y~Beta(3.2,3), Z=XY Beta 機率密度函數的圖形。 14
圖 3-5:兩個元件的串聯。 19
圖 3-6:n個元件的串聯。 19
圖 3-7:兩個元件的並聯。 21
圖 3-8:n個元件的並聯。 21
圖 3-9:串並聯系統。 22
圖 3-10:並串聯系統。 23
圖 4-1:數值法所得的 Beta 近似較動差法佳。 31
圖 4-2:數值法與動差法皆得良好的 Beta 近似。 31
圖 4-3:(α1,β1,α2,β2)=(3,8,7,4),γ=h(α,β) 的函數圖形。 32
圖 4-4:(α1,β1,α2,β2)=(3,8,7,4),從 α─γ 平面觀察的 γ=h(α,β) 圖形。 32
圖 4-5:(α1,β1,α2,β2)=(3,8,7,4),從 β─γ 平面觀察的 γ=h(α,β) 圖形。 33
圖 4-6:(α1,β1,α2,β2)=(3,8,7,4),γ=h(α,β) 的等高線圖形。 33
圖 4-7:(α1,β1,α2,β2)=(3,5,8,6),γ=h(α,β) 的函數圖形。 34
圖 4-8:(α1,β1,α2,β2)=(3,5,8,6),從 α─γ 平面觀察的 γ=h(α,β) 圖形。 34
圖 4-9:(α1,β1,α2,β2)=(3,5,8,6),從 β─γ 平面觀察的 γ=h(α,β) 圖形。 35
圖 4-10:(α1,β1,α2,β2)=(3,5,8,6),γ=h(α,β) 的等高線圖形。 35
圖 4-11:Alpha System 的系統結構。 36
圖 4-12:Alpha System 的元件可靠度。 36
圖 4-13:Alpha System 的可靠度模擬及其 Beta 近似。 37

表目錄

表 3-1:當 (α1,β1,α2,β2)=(2,2,2,2),較寬鬆的容忍條件及其結果。 26
表 3-2:當 (α1,β1,α2,β2)=(2,2,2,2),較嚴苛的容忍條件及其結果。 26
表 3-3:當 (α1,β1,α2,β2)=(3,8,7,4),較寬鬆的容忍條件及其結果。 26
表 3-4:當 (α1,β1,α2,β2)=(3,8,7,4),較嚴苛的容忍條件及其結果。 26
表 3-5:當 (α1,β1,α2,β2)=(25,2,15,2),較寬鬆的容忍條件及其結果。 27
表 3-6:當 (α1,β1,α2,β2)=(25,2,15,2),較嚴苛的容忍條件及其結果。 27
表 4-1:灰階表數值法,白底表動差法。 29
表 4-2:Alpha System 的元件可靠度。 30
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QRCODE
 
 
 
 
 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
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