# 臺灣博碩士論文加值系統

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 可靠度是元件或系統在一特定時間內可以正常作用的機率值。當元件壽命分配未知時，系統可靠度 Rs(t)=P{T≥t} 之估計方法為非參數的估計方法。以抽樣來測試元件，可靠度會隨著的抽樣而有所誤差，為了加以掌握可靠度的變動情形，將可靠度視為一具有 Beta 分配的隨機變數，又稱為可靠度之相信程度 (believed-reliability)。本研究利用數值方法，對於兩元件在時間 t 的可靠度為兩獨立的隨機變數 X~Beta(α1,β1), Y~Beta(α2,β2) 其中 α1, β1, α2, β2 > 0 時，找出與 Z=XY 機率密度函數的 L1-norm 最小的 Beta 機率密度函數，作為 Z=XY 之近似分配，以計算系統之可靠度。本文先討論兩元件串聯的情形，找出可靠度的 Beta 近似，再將其推廣至 n 個元件串聯及並聯的情形。由串聯模式、並聯模式、串並聯模式及並串聯模式所構成之系統，皆可利用上述方法求出總系統可靠度之 Beta 近似。
 Reliability is the probability that a component or a system can function at designed level during some specified period of time. When the distribution of component lifetime is unknown, nonparametric methods are used to estimate the system reliability, Rs(t)=P{T≥t}. Due to the randomization of sampling, the reliability of a component varies from lot to lot. In order to describe further the variation and uncertainty of the reliability, it can be viewed as a random variable, also called believed-reliability, which is often assumed to be distributed as a Beta distribution. The purpose of this research is to present a numerical method to evaluate system believed-reliability by component believed-reliabilities under the circumstance that components distributed as Beta function independently and through the system structure function.Let the believed-reliabilities of two components at time t be independent random variables X~Beta(α1,β1) and Y~Beta(α2,β2), α1, β1, α2, β2 > 0. This research first discusses the case of a series composed of two components to find the Beta approximation for the believed-reliability, Z=XY by minimizing the L1-norm between the density functions, and then extends it to the case of the series and parallel composed of n components. The Beta approximation of the believed-reliability for the system composed of series, parallel, series-parallel and parallel-series configuration can be derived by the previous methods.
 目錄誌謝 I國立臺北大學九十七學年度第二學期碩士學位論文提要 IIABSTRACT III目錄 IV圖目錄 VI表目錄 VII第一章 緒論 11.1 研究背景與動機 11.2 研究目的與流程 21.3 研究架構 3第二章 文獻回顧 42.1 系統可靠度的估計 42.2 BETA分配的參數估計 52.3 數值方法 9第三章 研究方法 113.1 兩獨立BETA分配隨機變數乘積的分配 113.2 兩獨立BETA隨機變數乘積之BETA近似 173.3 串聯系統的可靠度 183.4 並聯系統的可靠度 203.5 串並聯系統與並串聯系統的可靠度 213.6 數值方法概述 233.7 敏感度分析 24第四章 研究結果 284.1 Z=XY 之 BETA 近似 284.2 誤差函數 h(α,β) 圖形的檢視 284.3 ALPHA SYSTEM 的可靠度 30第五章 結論 38參考文獻 39附錄 41圖目錄圖 3-1：α1=β1=α2=2，β2 變動的 fz(z) 圖形。 13圖 3-2：α1=β1=β2=2，α2 變動的 fz(z) 圖形。 13圖 3-3：X~Beta(15,4), Y~Beta(10,5), Z=XY Beta 機率密度函數的圖形。 14圖 3-4：X~Beta(1.2,2), Y~Beta(3.2,3), Z=XY Beta 機率密度函數的圖形。 14圖 3-5：兩個元件的串聯。 19圖 3-6：n個元件的串聯。 19圖 3-7：兩個元件的並聯。 21圖 3-8：n個元件的並聯。 21圖 3-9：串並聯系統。 22圖 3-10：並串聯系統。 23圖 4-1：數值法所得的 Beta 近似較動差法佳。 31圖 4-2：數值法與動差法皆得良好的 Beta 近似。 31圖 4-3：(α1,β1,α2,β2)=(3,8,7,4)，γ=h(α,β) 的函數圖形。 32圖 4-4：(α1,β1,α2,β2)=(3,8,7,4)，從 α─γ 平面觀察的 γ=h(α,β) 圖形。 32圖 4-5：(α1,β1,α2,β2)=(3,8,7,4)，從 β─γ 平面觀察的 γ=h(α,β) 圖形。 33圖 4-6：(α1,β1,α2,β2)=(3,8,7,4)，γ=h(α,β) 的等高線圖形。 33圖 4-7：(α1,β1,α2,β2)=(3,5,8,6)，γ=h(α,β) 的函數圖形。 34圖 4-8：(α1,β1,α2,β2)=(3,5,8,6)，從 α─γ 平面觀察的 γ=h(α,β) 圖形。 34圖 4-9：(α1,β1,α2,β2)=(3,5,8,6)，從 β─γ 平面觀察的 γ=h(α,β) 圖形。 35圖 4-10：(α1,β1,α2,β2)=(3,5,8,6)，γ=h(α,β) 的等高線圖形。 35圖 4-11：Alpha System 的系統結構。 36圖 4-12：Alpha System 的元件可靠度。 36圖 4-13：Alpha System 的可靠度模擬及其 Beta 近似。 37表目錄表 3-1：當 (α1,β1,α2,β2)=(2,2,2,2)，較寬鬆的容忍條件及其結果。 26表 3-2：當 (α1,β1,α2,β2)=(2,2,2,2)，較嚴苛的容忍條件及其結果。 26表 3-3：當 (α1,β1,α2,β2)=(3,8,7,4)，較寬鬆的容忍條件及其結果。 26表 3-4：當 (α1,β1,α2,β2)=(3,8,7,4)，較嚴苛的容忍條件及其結果。 26表 3-5：當 (α1,β1,α2,β2)=(25,2,15,2)，較寬鬆的容忍條件及其結果。 27表 3-6：當 (α1,β1,α2,β2)=(25,2,15,2)，較嚴苛的容忍條件及其結果。 27表 4-1：灰階表數值法，白底表動差法。 29表 4-2：Alpha System 的元件可靠度。 30
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