臺灣博碩士論文加值系統

關於環面上的奇異平均場方程，在單一Dirac奇異點的係數為4π(2k+1)時林長壽教授與王金龍教授曾給出一個猜想：解的個數恰好等於其拓樸度數。
吾等發現如此的非線性方程原來是代數可積的，並且此計數問題可化約至對某一個仿射多項式系統計算。
我们提出兩個都基於代數幾何的方法來證明此一猜想。第一個方法是基於射影的Bézout定理與殘餘相交理論，運用此一方法我们可以證實該猜想到k≦5的情形。射影化系統中多出之無窮遠解的結構牽涉到某種對稱的組合與精緻的多面體結構，這些結搆似乎與其他數學領域有關並值得進一步研究。
第二個方法是對所有k在仿射方程組上的同倫法。這部分仍存在一些證明上的空白，所以吾等僅提及其想法與一些關鍵點。希望這將會在未來給出該猜想一個直接的證明。

It　is　conjectured　by　C.-S.　Lin　and　C.-L.　Wang.
cite{LW2}　that　the　number　$N_k$　solutions　for　the
　singular　mean　field　equation　on　tori　(with　the
　coefficient　$4pi(2k + 1)$　of　the　delta　singularity
)　should　be　equal　to its　topological　degree　$k+1$
　for　each　$k　in　mathbb{N}$　cite{LW2}.　We
　verifies　the　case　of　$k　=　4$　and　$5$　via
intersection　theory.　In　these　cases,　it　shows　that
　the　solution　toward　the　general　cases　involves
　some　symmetrically　combinatorial　and　delicately
　polyhedron　structures.

1 Introduction 1
2 Reduction from PDE to polynomial systems 3
2.1 Fundamental results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 The canonical representation of solutions . . . . . . . . . . . 6
2.3 The correspondence theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 The case k = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Approach by intersection theory 17
3.1 The residual intersection formula . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 The case k = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 The case k = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Some partial results for the general case . . . . . . . . . . . . 34
3.5 The symmetry and combinatorics behind the system . . . . . 38
4 An approach by the homotopy method 41
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