臺灣博碩士論文加值系統

隨著電腦科技的進步與各領域越趨廣泛的應用，高解析度體積成像的需求也日益增加，在體積成像的技術中要如何有效率地處理龐大的體積資料量已成為一個重要的議題。體積成像大致分成兩種技術：直接體積成像(Direct Volume Rendering, DVR)與傅立葉體積成像(Fourier Volume Rendering, FVR)，DVR技術直接在空間域計算出體積資料的投影，而FVR則是將體積資料轉換到頻域做前置處理，最後做即時成像轉回空間域得到投影。而三維離散X射線轉換法屬於FVR技術的一種。
原始的三維離散X射線轉換法(3D Discrete X-ray Transform)使用暴力法(Brute Force)將體積資料的頻譜直接乘上一指數項做累加來得到頻譜的切面，這種方式的計算複雜度較高。另外，原始的三維離散X射線轉換法在特定投影角度的成像上會因為相位差導致影像失真。
本論文針對上述的兩個問題提出改良，將演算法使用暴力法的部分，改成以快速傅立葉轉換做Chirp Z-Transform (CZT)來實現，如此能夠有效降低計算複雜度。另外，我們藉由空間域與頻域的兩階段平移來解決特定投影角度的成像失真問題。

With the development of modern computer technology, the need for high-resolution volume visualization is rapidly increasing. How to visualize large volumetric datasets effectively becomes an important problem. Volume rendering can roughly be divided into two techniques: direct volume rendering (DVR) and Fourier volume rendering (FVR). DVR directly calculates the projection of the volumetric dataset in spatial domain. FVR first transforms the volumetric dataset to frequency domain in pre-processing. Real-time image rendering is done by extracting a slice in frequency domain and inverse Fourier transforming the slice. 3D discrete X-ray transform (3D DXT) is one of the FVR techniques.
The original 3D DXT uses brute force transform. The frequency transform of the volumetric dataset is calculated by direct multiplication of exponential terms and repetitive summation. This leads to very high computational complexity. Moreover, the images of the original 3D DXT are distorted at specific projection angles.
In this thesis, we improve 3D DXT and solve the two problems. First, the brute force transform is replaced by Chirp Z-transform (CZT) with fast Fourier transform (FFT) implementation. This reduces computational complexity. Moreover, we utilize spatial-domain and frequency-domain shifting to correct the distortion at specific projection angles.

目錄
誌謝 i
摘要 ii
Abstract iii
第一章 緒論 1
1.1 簡介 1
1.2 動機與目的 1
1.3 論文架構 2
第二章 體積成像技術 3
2.1 體積成像演算法回顧 3
2.2 傅立葉切片理論 4
2.3 三維連續X射線轉換法 5
2.4 半離散X射線轉換法 5
2.5 傅立葉切片理論與半離散X射線轉換法之關係 8
2.6 離散X射線轉換法 11
2.7 以Chirp Z-Transform實現三維離散X射線轉換法 12
2.8 總結 14
第三章 三維離散X射線轉換演算法改良 15
3.1 三維離散X射線轉換演算法改良 15
3.2 Chirp Z-Transform以FFT實現 17
3.3 頻域平移運算 20
3.4 空間域平移運算 31
3.5 離散快速傅立葉轉換(FFT) 35
3.6 FFTW 36
3.7 投影角度與投影面的關係 38
3.8 總結 40
第四章 輸出結果及討論 41
4.1 軟硬體與參數說明 41
4.2 頻域平移的影像結果 41
4.3 空間域平移的影像結果 50
4.4 其它體積資料的影像結果 61
4.5 效能分析 71
4.6 總結 72
第五章 結論與未來展望 73
5.1 結論 73
5.2 未來展望 73

圖目錄
圖2- 1 Ray-Casting成像法 3
圖2- 2 傅立葉切片理論 4
圖2- 3 x-lines、y-lines、z-lines積分線座標系的三維座標概念圖 6
圖2- 4 Chirp Z-Transform示意圖 14
圖3- 1 原始的三維離散X射線轉換法流程圖 15
圖3- 2 改良後的三維離散X射線轉換法流程圖 16
圖3- 3 CZT信號週期修正示意圖 19
圖3- 4 頻域平移示意圖 20
圖3- 5 填入單一平面示意圖 21
圖3- 6 投影角度轉動0度(α,β)=(0,0) 22
圖3- 7 投影角度橫向順時針轉動5.625度(α,β)=(0.125,0) 23
圖3- 8 投影角度橫向順時針轉動11.25度(α,β)=(0.25,0) 24
圖3- 9 投影角度橫向順時針轉動16.875度(α,β)=(0.375,0) 25
圖3- 10 投影角度橫向順時針轉動22.5度(α,β)=(0.5,0) 26
圖3- 11 投影角度橫向順時針轉動28.125度(α,β)=(0.625,0) 27
圖3- 12 投影角度橫向順時針轉動33.75度(α,β)=(0.75,0) 28
圖3- 13 投影角度橫向順時針轉動39.375度(α,β)=(0.875,0) 29
圖3- 14 投影角度橫向順時針轉動45度(α,β)=(1,0) 30
圖3- 15 未做頻域與空間域平移之示意圖 31
圖3- 16 僅做頻域平移而未做空間域平移之示意圖 32
圖3- 17 空間域平移示意圖 32
圖3- 18 空間域平移觀測資料示意圖 33
圖3- 19 空間域平移觀測資料 34
圖3- 20 時域交錯的快速傅立葉轉換蝴蝶圖(N=8) 36
圖3- 21 分治法示意圖 37
圖4- 1 人頭投影圖(α,β)=(0,0.75) 42
圖4- 2 人頭投影圖(α,β)=(0.25,0.75) 43
圖4- 3 人頭投影圖(α,β)=(0.5,0.75) 44
圖4- 4 人頭投影圖(α,β)=(0.75,0.75) 45
圖4- 5 人頭投影圖(α,β)=(1,0.75) 46
圖4- 6 人頭投影圖(α,β)=(0,0) 47
圖4- 7 人頭投影圖(α,β)=(1,1) 48
圖4- 8 人頭投影圖(α,β)=(1,-1) 48
圖4- 9 人頭投影圖(α,β)=(-1,1) 49
圖4- 10 人頭投影圖(α,β)=(-1,-1) 49
圖4- 11 人頭投影圖(α,β)=(0.234375,0.078125) 51
圖4- 12 人頭投影圖(α,β)=(0.3125,-1) 52
圖4- 13 人頭投影圖(α,β)=(-0.8203125,0.390625) 53
圖4- 14 人頭投影圖(α,β)=(-1,0) 54
圖4- 15 人頭投影圖(α,β)=(0.0234375,-0.0546875) 55
圖4- 16 人頭投影圖(α,β)=(-0.0546875,-0.5234375) 55
圖4- 17 人頭投影圖(α,β)=(-0.1015625,0.5625) 56
圖4- 18 人頭投影圖(α,β)=(-0.125,-0.2265625) 56
圖4- 19 人頭投影圖(α,β)=(0.203125,0.5234375) 57
圖4- 20 人頭投影圖(α,β)=(0.203125,-0.5234375) 57
圖4- 21 人頭投影圖(α,β)=(0.2890625,-0.4375) 58
圖4- 22 人頭投影圖(α,β)=(-0.34375,0.203125) 58
圖4- 23 人頭投影圖(α,β)=(-0.34375,-0.453125) 59
圖4- 24 人頭投影圖(α,β)=(-0.8046875,-0.4921875) 59
圖4- 25 人頭投影圖(α,β)=(-0.8671875,0.578125) 60
圖4- 26 人頭投影圖(α,β)=(-1,0.2578125) 60
圖4- 27 SOD投影圖(α,β)=(0,0) 61
圖4- 28 SOD投影圖(α,β)=(0,1) 62
圖4- 29 SOD投影圖(α,β)=(-0.390625, -0.390625) 62
圖4- 30 SOD投影圖(α,β)=(0.5, -0.859375) 63
圖4- 31 SOD投影圖(α,β)=(0.78125, 0.2578125) 63
圖4- 32 SOD投影圖(α,β)=(1,1) 64
圖4- 33 膝蓋投影圖(α,β)=(0,0) 65
圖4- 34 膝蓋投影圖(α,β)=(0,1) 65
圖4- 35 膝蓋投影圖(α,β)=(-0.390625, -0.390625) 66
圖4- 36 膝蓋投影圖(α,β)=(0.5, -0.859375) 66
圖4- 37 膝蓋投影圖(α,β)=(0.78125, 0.2578125) 67
圖4- 38 膝蓋投影圖(α,β)=(1,1) 67
圖4- 39 引擎投影圖(α,β)=(0,0) 68
圖4- 40 引擎投影圖(α,β)=(0,1) 69
圖4- 41 引擎投影圖(α,β)=(-0.390625, -0.390625) 69
圖4- 42 引擎投影圖(α,β)=(0.5, -0.859375) 70
圖4- 43 引擎投影圖(α,β)=(0.78125, 0.2578125) 70
圖4- 44 引擎投影圖(α,β)=(1,1) 71

 
表目錄
表4-1 三維離散X射線轉換法各階段效能比較 71

[1] 石建軒，“三維離散X光轉換之正轉換實現”，國立中興大學碩士論文，
2010。

[2] 劉讓熙，“三維離散X光轉換之反轉換實現”，國立中興大學碩士論文，
2010。

[3] 李懷哲，“極座標之傅立葉體積成像”，國立中興大學碩士論文，2006。

[4] Amir Averbuch, Yoel Shkolnisky,“3D discrete X-ray transform”, Applied and Computational Harmonic Analysis, vol.17, pp.529-276,2004.

[5] Aili Li, Klaus Mueller, Thomas Ernst,“Methods for Efficient, High Quality Volume Resampling in the Frequency Domain”, IEEE Visualization, pp.3-10,
2004.

[6] Tom Malzbender,“Fourier Volume Rendering”, ACM Transactions on
Graphics, vol.12, pp.233-250, 1993.

[7] Marc Levoy, “Display of Surfaces from Volume Data”, IEEE Computer Graphics and Applications, vol.8, pp.29-37, 1988.

[8] Takashi Totsuka, Marc Levoy, “Frequency Domain Volume Rendering”, 20th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques, 1993.

[9] Raoqiong Tong, Robert W. Cox, “Rotation of NMR Images Using the 2D Chirp Z-Transform”, Magnetic Resonance in Medicine, vol.41, pp.253-256, 1999.

[10] Lawrence R. Rabiner, Ronald W. Schafer, Charles M. Rader, “The Chirp Z-Transform Algorithm”, IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics,
vol.17, pp.86-92, 1969.

[11] Alan V.Oppenheim, Ronald W. Schafer,“Discrete-Time Singnal Processing ”, Prentice Hall, 1989.


[12] Charles L.Phillips, John M.Parr, Eve A.Riskin, “Signals, Systems, and Transforms”, Third Edition, Prentice Hall, 2003.

[13] Rafael C. Gonzalez, Richard E. Woods, Steven L. Eddins,“Digital Image Processing Using MATLAB”, Prentice Hall, 2003.

[14] “ Fastest Fourier Transform in the West“, http://www.fftw.org/.

[15] “http://zh.wikipedia.org/wiki/超氧化物歧化