臺灣博碩士論文加值系統

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 假設 P(u) 是一個 u 的多項式函數且 f(u)=Sqrt{P(u)}。 在 complex plane 上 f 是一個多值函數。在 extended complex plane 上我們利用適合的 cut-structure 建立 f 的 Riemann surface R 。則 f 是一個定義在 R 上的單值函數。接著我們在 f 的代數結構上面做積分的運算。特別地，我們主要針對兩種特別的路徑來積分，分別為 a-cycle 及 b-cycle 。運用 principle of deformation of paths 來計算這些積分。此外，我們將以上的方法應用在微分方程上。
 Let P(u) be a polynomial of u and let f(u)=Sqrt{P(u)}. f is a 2-valued function defined on the complex plane C. We construct the Riemann surface R by a proper cut-structure on the extended complex plane. Then f is a single-valued function on R. Then we do evaluations of path integrals on R with its algebraic structure for f. In particular, we evaluate integrals along two special paths, a-cycle and b-cycle, respectively. We apply the principle of deformation of paths to evaluate those integrals. Furthermore, we apply the above argument to differential equations.
 1 Introduction 11.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Stereographic Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Some Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Riemann Surfaces and Cut Structures 42.1 The Riemann Surface for f(z)= Sqrt{z}. . . . . . . . . . . . 42.2 The Riemann Surface for f(z) = Sqrt{z-r_1}{z-r_2}. . . . . . 62.3 The Riemann Surface for f(z) = Sqrt{z-r_1}{z-r_2}{z-r_3} . . 72.4 Riemann Surfaces of Genus N. . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5 To Draw Paths on Cut Planes and on Riemann Surfaces . . . . 103 Integrals for Horizontal Cuts 133.1 Two Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 The Problem in Using Mathematica. . . . . . . . . . . . . . 183.3 Evaluating Integrals Using Mathematica. . . . . . . . . . . 203.4 Generalization of Integrals Along Horizontal Cuts . . . . . 464 Integrals for Vertical Cuts 604.1 Cut Structures for Vertical Cuts. . . . . . . . . . . . . . 604.2 The Problem in Using Mathematica. . . . . . . . . . . . . . 604.3 Evaluating Integrals Using Mathematica. . . . . . . . . . . 624.4 Generalization of Integrals Along Vertical Cuts . . . . . . 775 Integrals for Slant Cuts 945.1 Cut Structures for Slant Cuts . . . . . . . . . . . . . . . 945.2 The Problem in Using Mathematica. . . . . . . . . . . . . . 955.3 Evaluating Integrals Using Mathematica. . . . . . . . . . . 975.4 Generalization of Integrals Along Slant Cuts . . . . . . . 1076 An Application on Dierential Equations 1257 Conclusion 132
 [1] George Springer, ``Introduction to Riemann Surfaces'', 2nd ed., New York: Chelsea, 1981.[2] James Ward Brown, Ruel V. Churchill, ``Complex Variables and Applications'', 7th ed., New York: McGraw-Hill, 2003.[3] J.-E. Lee, ``Numerical Computations of Integrals over Paths on Riemann Surfaces of Genus N'', Theoretical and Mathematical Physics, Vol. 101, No.2, 1994.[4] Stephen Wolfram, ``Mathematica Book'', 5th ed., Wolfram Media, 2003.[5] Jie-Ru Wu, ``The Path-Integral Computations on Two-Sheeted Riemann Surfaces of Genus N'', NCTU, 2003.
 國圖紙本論文
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 1 N相黎曼空間的理論與應用 2 黎曼空間的理論和其在微分方程上的應用 3 黎曼空間之積分運算 4 黎曼空間之積分運算 5 黎曼空間之積分運算

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