臺灣博碩士論文加值系統

本論文透過一維非定常Euler 方程之有限體積法計算程式，數值計算並分析震波管內兩側不同氣體間之接觸面移動時產生的流場問題。以考慮一多重氣體之附加能量守恆方程為基礎，利用AUSMDV 黎曼求解法，分別對4 種不同之二、三階通量限制器、數種不同的 Runge-Kutta 時間步進法進行系列的數值處理與比較分析。並利用此一附加能量方程，考慮不同階數之梯度與不同計算迴圈之方式做進一步的數值分析、測試與驗證，探討其優缺點並確認計算程序之可靠度。
研究首先針對單一氣體震波管條件，利用AUSMDV 黎曼求解法，以Minmod 限制器為基礎建立並驗證Superbee 與van Leer 之二階通量限制器以及ˇCada 所發展的 2 種三階通量限制器，分析顯示ˇCada 針對震波問題結合Superbee 限制函數所修正之通量限制器可以達到較高的計算精度，並改善了Superbee 限制器既有的數值震盪問題；在時間步進法方面，首先建立二階Runge-Kutta 方法，並以Taylor 展開式為概念發展不同步進數之時間步進方式，爾後將其擴展至四階Runge-Kutta 方法，有效提高了時間離散部分之計算精度。
由守恆方程進一步推導出之多重氣體之附加能量守恆方程，經整理之後會產生非守恆源項 Q ，其中包含了於守恆方程中不易數值處理之壓力與速度梯度，而其中壓力於多重氣體中與溫度、比熱比值、密度以及能量等參數均有密切關係，這將增加數值求解上的困難度導致數值計算上的逼近誤差。透過這些參數的分析顯示，在移動接觸不連續及震波位置會產生預測失準之問題。為此，我們建立了不同階數之梯度計算法以及考慮不同壓力模型進行一系列數值測試。能量或壓力之結果顯示，階數高的梯度計算法可提升捕捉膨脹波區域之波傳能力，但於近接觸不連續處會產生較大的非物理性震盪問題。然而，透過進一步修正計算迴圈方式將可顯著改善此一數值震盪問題。

謝辭i
摘要ii
Abstract iii
目錄v
圖目錄xiv
表目錄xv
符號說明xvi
1 前言1
1.1 研究動機. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 研究目的與工作. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 研究流程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 文獻回顧4
2.1 多重氣體下震波捕捉研究. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 巨觀尺度之真實流體震波捕捉. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.2 微觀尺度下之真實與稀薄氣流研究. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 數值通量算則發展. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 通量限制器研究. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 物理建模14
3.1 守恆方程式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 一維Euler 方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 考慮多重氣體之能量方程式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 理想氣體混合之多重氣體Euler 方程模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4.1 壓力梯度∇P 之計算模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 數值方法24
4.1 有限體積法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 時間步進過程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.1 穩定因子─ CFL 條件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.2 時間步進法： Runge-Kutta 方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3 數值重建法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3.1 梯度與限制器. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3.1.1 分段線性控制函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3.1.2 平滑的限制函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3.1.3 ˇCada 與Torrilhon 之雙對數限制函數及限制器. . . . . . . . 35
4.4 數值通量函數：近似Riemann 求解法─ AUSMDV . . . . . . . . . . . . . . 36
4.5 源項Q 之壓力梯度∇P 逼近法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.5.1 不同次導數之近似差分法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.5.2 有效利用節點數之迴圈設計. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5 數值計算結果與討論41
5.1 研究問題之初始條件設定. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2 源項Q 之數值逼近問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2.1 接觸不連續面前後之逼近誤差. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2.2 單一氣體條件下不同形式之梯度計算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2.2.1 不同梯度差分法之比較. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2.2.2 不同壓力梯度函數之影響. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3 各種通量限制器之比較. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3.1 單一氣體條件下之比較. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3.2 雙重氣體條件下之比較. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.4 時間步進Runge-Kutta 方法之計算測試. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.4.1 以Taylor 級數展開之二階Runge-Kutta 方法. . . . . . . . . . . . . 68
5.4.2 不同階數之Runge-Kutta 方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.5 結合通量限制器與時間步進法討論數值逼近問題. . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5.1 單一氣體條件之分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5.2 雙重氣體條件之分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6 結論77
參考文獻79
A 不同壓力函數之影響83
B 修正計算法結合三種通量限制器之計算測試85
B.1 單一氣體條件測試結果. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
B.2 雙重氣體條件測試結果. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

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