臺灣博碩士論文加值系統

摘要

本論文第一部分是關於單能帶中電子在外加均勻電場中的動力學，其中布洛赫振盪是在固態物理教科書中所熟悉的現象，可以由半古典理論去理解。 除了布洛赫振盪之外，量子力學的計算預測了另一種振盪模式，稱為呼吸模式。 兩者之間的主要差別在於電子的初態不同所致。 我們取未二聚化的聚乙炔來模擬單能帶電子結構；計算方法則採用緊束縛近似法來計算有限長度晶格中電子的動力學行為。 我們的計算結果証實，在足夠長的有限長度晶格中，完整的振盪是可以實現的，但在較短長度的晶格中，電子的波包將受到邊界的反射，無法完成完整的振盪。

本論文第二部分則討論雙能帶中的布洛赫-齊納振盪，由於它在物質波分波器及Mach-Zehnder干涉儀方面的應用潛力，因此目前受到許多研究人員的興趣。 布洛赫-齊納振盪是在外加均勻電場足夠強，穿隧效應不可忽略時所發生的量子力學行為。 布洛赫-齊納的振盪週期被証實是由階梯能量偏移差及階梯能量間格相關的比值來決定，在本論文中，我們設計了一個方法來調控該比值，以便選擇適宜的布洛赫-齊納振盪週期。 這種選擇布洛赫-齊納振盪週期的方法，對實驗中觀測布洛赫-齊納振盪或許是有幫助的。

Abstract

The first part of this thesis concerns with the electron dynamics in single-band lattice under a constant electric field. The Bloch oscillation (BO) was important and usually demomstrated, by using the semiclassical approach, in infinite periodic lattices for electrons initially prepared with delocalized wave packet in real space. However, the fully quantum mechanical calculations predict “breathing mode” oscillation due to localized initial wave packet prepared. Thus, we numerically study the oscillation dynamics of these two modes in finite-length lattices in which the ends of the lattice may strongly influence the wave packet when it reaches the ends. We explicitly take the undimerized polyacetylene as a lattice model of the single band and use the tight-binding approximation to study the “oscillatory” and “breathing” oscillations. Our results show that except for chain length long enough, the wave packets will be reflected at the ends, resulting in the dephasing of the oscillations.

The second part of this thesis deals with the Bloch-Zener (BZ) oscillations that are recently the subject interested by researchers, since it may have useful applications as matter wave beam splitter and Mach-Zehnder interferometer. The BZ oscillations can be described in two-band lattice chain when the applied electric field is strong enough and tunneling through the band gap occurs. In our study, we take the (dimerized) trans-polyacetylene as a lattice model and again use the tight-binding approximation to calculate the BZ oscillations. We show that the period of a complete BZ oscillation is indeed determined by the ratio of two time scales as described by Breid et. al. We also propose a novel method to design a BZ oscillation with a specific period.

目錄

中文摘要 i
英文摘要 ii
致謝 iv
目錄 v
圖目錄 vii
第一章 緒論 1
第二章 布洛赫振盪與布洛赫-齊納振盪 4
第一節 布洛赫振盪之半古典理論 5
第二節 呼吸模式 9
第三節 布洛赫-齊納振盪 11
第三章 理論、模型與參數 14
第一節 漢密爾頓量 14
第二節 初始態 16
第三節 位置期望值與不準度 17
第四節 模型與參數 18
第四章 電子波包在單能帶晶格中的運動 22
第一節 非定域態 23
第二節 定域態 29
第三節 高斯波包 37
第五章 電子波包在雙能帶晶格中的運動 42
第一節 比較單能帶與雙能帶中電子之運動 43
第二節 布洛赫-齊納振盪週期 49
第六章 結論 58
參考文獻 60

圖目錄

圖2-1: 半古典理論預測布洛赫電子在外加均勻電場 的作用時，電子波向量改變之示意圖。 假設電子從 向布里淵區邊界加速，當到達 時，就如同經由一倒逆過程 (umklapp process) 而再度出現於區邊界上的等同點 處，因此電子能量在布里淵區內進行週期改變。……………………………………………………….. 6
圖2-2: 式 (2-6)、(2-7)、(2-8) 式之計算結果 (取 及 )。 其中 (a) 為電子的能帶 ，(b) 為電子的運動速度 ，(c) 為電子的位置 。……………………………………………………………… 8
圖3-1: 反式聚乙炔分子式為 (C2H2)n示意圖。 由於二聚化 (dimerization) 使得碳鏈中形成單鍵-雙鍵交替的一維週期結構。……………..... 19
圖3-2: (a) 尚未二聚化之聚乙炔及 (b) 二聚化之聚乙炔化學結構的示意圖。 在圖中 ， 為一維碳鏈中碳原子之總數。 若聚乙炔未二聚化時，則相鄰碳原子間的距離為 ，然而二聚化後，則每一個碳原子都對其原有的位置有一微小的位移 ，此時一維晶格具有晶格週期2 。………………………………………………….. 20
圖4-1: 外加均勻電場 "V" ⁄Å時，晶格長度 (藍線)、 (紅線)、 (綠線) 和 (黑線) 中的非定域態電子波包中心位置 及波包寬度 隨時間的演變。………………….. 24
圖4-2: 一維晶格長度 時，外加電場分別為 "V" ⁄Å (藍線)、 "V" ⁄Å (紅線) 與 "V" ⁄Å (綠線) 時，電子波包中心及寬度隨時間演變之理論結果。……………………………….... 27
圖4-3: (a)、(b)和(c) 分別是晶格長度N=300，電場強度為 "V" ⁄Å、 "V" ⁄Å和 "V" ⁄Å時，電子的機率振幅 隨時間演變之計算結果。 圖中顯示電場愈小則機率振幅受到邊界反射的比率越大，在強電場下此反射現象將可被忽略。……………… 28
圖4-4: 外加均勻電場 "V" ⁄Å，一維晶格長度分別為 (藍線)、 (紅線) 與 (綠線) 時，定域態的電子波包中心及寬度隨時間之演變。………………………………………………. 30
圖4-5: 晶格長度為 ，電場分別為 "V" ⁄Å (藍線)、 " V" ⁄Å (紅線) 與 "V" ⁄Å (綠線) 時，定域態的電子初始波包隨時間之演變。 圖4-5(a) 中的小視窗為 ， "V" ⁄Å 與 "V" ⁄Å時， 之計算結果。 顯示，電場愈高則相同長度晶格中的電子運動行為，愈符合無限長晶格之理論結果。……… 32
圖4-6: 定域態電子初始位置為 時電子機率振幅 隨時間的演變。其中 (a)、(b) 和 (c) 是晶格長度 時，但電場分別為 "V" ⁄Å、 "V" ⁄Å和 "V" ⁄Å時之計算結果。 圖中顯示，就有限長度晶格而言，外加均勻電場的強度大則電子波包受到邊界的影響較小，故愈能顯示完整的呼吸模式振盪。……………… 34
圖4-7: 外加均勻電場 "V" ⁄Å，晶格長度為奇數 (藍線)、 (紅線) 與 (綠線) 時，定域態電子波包隨時間之演變。 圖中顯示， 值幾乎沒有改變，並不受晶格的長短所影響。………… 35
圖4-8: 在電場 "V" ⁄Å下，晶格長度分別為奇數 (左圖) 與偶數 (右圖) 時，波包的機率振幅 隨時間演變之比較。 圖中，a~i為在不同時間，電子波包的機率振幅分佈，其中a為 ，i為 ，而時間間隔為 。………………………………. 36
圖4-9: 初始高斯型波包的機率振幅分布與波包寬度 的關係圖。 圖中的(a)、(b)、(c) 與 (d) 分別是波包寬度為 (藍線) 、 (紅線) 、 (綠線) 與 (紫線) 的機率振幅分布。 當 愈小時，表示電子的定域化程度愈高 (例如 )。……… 38
圖4-10: 初始態為高斯波包時電子的機率振幅 隨時間的演變。 圖 (a)、(b) 與 (c) 為晶格長度 ，電場強度分別為 "V" ⁄Å、 "V" ⁄Å和 "V" ⁄Å時之計算結果。………………….... 39
圖4-11: 晶格長度為 ，電場強度分別為 "V" ⁄Å (藍線) "V" ⁄Å (紅線) 與 "V" ⁄Å (綠線)時，電子的初態高斯型波包中心及寬度隨時間的演變。………………………………..40
圖5-1 : 聚乙炔 (紅色線) 與未二聚化聚乙炔 (藍色線) 中電子波包中心及寬度隨時間的變化。 本圖中的計算是取初始寬度為 的高斯波包，在晶格長度 之計算結果。 其中 (a) 與 (b) 的外加電場為 "V" ⁄Å，而 (c) 與 (d) 則為 "V" ⁄Å。…… 46
圖5-2: 碳原子數為 ，電場強度 "V" ⁄Å時，電子的機率振幅 隨時間演變。 圖 (a) 為電子波包在單能帶中作布洛赫振盪，而 (b) 圖顯示電子波包在 時即開始分裂，然後在 時，則進行分裂及重組一直到完成一次的布洛赫-齊納振盪。………………………………………………………………….. 47
圖5-3: 碳原子數是 ，電場是 "V" ⁄Å時，電子的機率振幅 隨時間的演變。 圖(a) 電子波包在單能帶中作布洛赫振盪，而圖(b) 顯示電子波包在經過時間 後有明顯的分裂現象，此時分裂的兩個子波包具有可比較之機率振幅。 經過一次分裂及重組之後則完成布洛赫-齊納振盪，其週期為 。………….. 48
圖5-4: 聚乙炔分子鏈在外加電場中的萬尼爾-史塔克階梯之能量分布。 其中黑色序列階梯為 ，藍色序列階梯為 。 在圖中，我們只給出分子鏈中央附近的階梯。…………………………………......52
圖5-5: s與r的比值與外加電場F之關係圖。 圖中的視窗顯示從 "V" ⁄Å到 "V" ⁄Å的放大圖。…………………………………….. 52
圖5-6: 碳原子數 的聚乙炔中的電子的機率振幅 隨時間的演變。 圖(a)、(b)、(c) 和 (d) 分別為外加均勻電場 0.22696、0.218899、0.24628和0.206852"V" ⁄Å的計算結果。……………… 53

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