本文對 2008 到 2015 年的高中職數學科教師甄試考題進行分類，
以二個基本的數學主題做整理：『數列』、『級數』。
這些主題除了介紹試題中曾出現的名詞之定義，
還針對與其相關的定理與性質進行證明，
最後選擇一些較具代表性的題目供讀者練習。

主要的內容有：
『數列』包含數列極限、遞迴關係、生成函數、費伯納西數列與莫比烏斯數列等；
『級數』包含級數和、冪級數、裂項相消、差比級數、低階多重對數級數等。

This study investigates selected sequence and series problems of
high school mathematics teacher recruitment exam in Taiwan from
2008 to 2015. Each topics begins with the important definitions
and theorems for problem solving, followed by several examples
chosen to illustrate the use of theorems.

The topic of sequence includes limit, recursive relation, generating
function, Fibonacci sequence, and M"obius sequence. The topic of
series includes sum, power series, telescoping series,
arithmetico-geometric series, and low-order polylogarithms.

目錄
論 文 審 定 書 i
誌 謝 ii
摘 要 iii
Abstract iv
第 一 章 前 言 1
第 二 章 數 列 2
2.1 等差數列與等比數列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 數列的極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 遞迴關係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3.1 特徵多項式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.2 生成函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.3 固定點 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 特殊數列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.1 費伯納西數列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.2 莫比烏斯數列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5 求數列極限的方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.1 固定點收斂定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.2 羅必達法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6 數學歸納法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
第 三 章 級 數 35
3.1 級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 等差級數與等比級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 級數和 ∑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4 特殊級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.1 裂項相消 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4.2 差比級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.3 低階多重對數級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
參 考 文 獻 50
索 引 52

參考文獻
張福春、莊淨惠 (2009)，線性遞迴關係之求解（上）。數學傳播，第 33 卷，第 4
期，47-62。http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d334/33404.pdf
張福春、莊淨惠 (2010)，線性遞迴關係之求解（下）。數學傳播，第 34 卷，第 1
期，35-57。http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d341/34104.pdf
張福春、曾介玫 (2008)，一般生成函數之應用。數學傳播，第 32 卷，第 3 期，12-35。
http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d323/32302.pdf
徐瀝泉、王繼岳、陳漢冶 (2004)，遞歸數列與不動點。數學傳播，第 28 卷，第 1
期，83-94。http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d281/28109.pdf
林宜嬪 (2010)，數列和級數的和與積，國立中山大學應用數學系碩士論文，台灣高雄
市。
黃冠銘 (2015)，美國高中數學測驗 AMC 10 之基本數學主題，國立中山大學應用數學
系碩士論文，台灣高雄市。
Math Pro 數學補給站 (2016)，高中的數學。
http://math.pro/db/forum-7-1.html
寸絲 (2014)，民國 97-103 年台灣高中職數學科教甄試題整理，方寸之地。
https://dl.dropbox.com/s/uo8jwy456k94qj1/Math Note 14-17 by tsusy.pdf
美夢成真教甄討論區 (2016)，歷屆高中職教師甄選考古題專區。
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewforum.phpf=17&sid=20d0a2f708569b35f46300ea77db74cb
級 數 ，In 台 灣 Wiki. Retrieved May 15, 2016, from
http://www.twwiki.com/index.php?doc-view-41872
數 列 ，In Baidu. Retrieved May 15, 2016, from
http://baike.baidu.com/view/39749.htm
蕭 嘉 璋 ， 技 職 管 理 學 院 微 積 分 Calculus for Business Economics. Re-
trieved May 15, 2016, from 國 立 中 央 大 學 數 學 系, Institute for Web site:
http://dufu.math.ncu.edu.tw/calculus/calculus_bus/bayzu-html.html
Wikipedia (2016). The free encyclopedia, Wikimedia Foundation, Inc. Retrieved
May 15, 2016, from https://en.wikipedia.org/wiki/Main_Page
莫比烏斯變換:
https://zh.wikipedia.org/wiki/莫比乌斯变换
調和級數:
https://zh.wikipedia.org/wiki/调和级数
冪級數:
https://zh.wikipedia.org/wiki/幂级数
羅必達法則:
https://zh.wikipedia.org/wiki/洛必达法则#.E8.AD.89.E6.98.8E
Arithmetico-geometric sequence:
https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetico-geometric_sequence
Faulhaber’s formula:
https://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber''s_formula
List of mathematical series:
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_mathematical_series
Mathematical induction:
https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_induction
Polylogarithm:
https://en.wikipedia.org/wiki/Polylogarithm
Squeeze theorem:
https://en.wikipedia.org/wiki/Squeeze_theorem
Taylor series:
https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series