# 臺灣博碩士論文加值系統

(18.205.176.39) 您好！臺灣時間：2022/05/25 12:56

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 在這篇論文裡，我們首先探討了S_{p}及pi_{p}的函數值隨著p值增加的變化趨勢，其中S_{p}為下列積分之反函數 x=\int^{S_{p}(x)}_{0}(1-|t|^{p})^{-\frac{1}{p}}dt, p>1且pi_{p}=2\int^{1}_{0}(1-t^{p})^{-\frac{1}{p}}dt。我們修正了Binding的錯誤，重新證明S_{p}(x)及pi_{p} 對p的單調性。在本論文的第二部分，我們將S_{p}與pi_{p}的定義推廣至S_{p,q}函數與pi_{p,q}，探討其相關微分方程及對p與q的單調性，此處S_{p,q}為下列積分之反函數x=\int^{S_{p,q}(x)}_{0}(1-|t|^{q})^{-\frac{1}{p}}dt, p,q>1且pi_{p,q}=2\int^{1}_{0}(1-t^{q})^{-\frac{1}{p}}dt。我們發現S_{p,q}與S_{p}、sin(x)有類似的性質，並且證明了下列等價條件(a)\forall x\in[-\frac{ i_{p,q}}{2},\frac{ i_{p,q}}{2}] x=\int^{S_{p,q}(x)}_{0}(1-|t|^{q})^{-\frac{1}{p}}dt.\forall x \in \mathbb{R} S_{p,q}(x+k i_{p,q})=(-1)^{k}S_{p,q}(x).(b)S_{p,q}(0)=0,S'_{p,q}(0)=1|S_{p,q}|^{q}+|S'_{p,q}|^{p}=1(c)S_{p,q}(0)=0,S'_{p,q}(0)=1 (|S'_{p,q}|^{p-2}S'_{p,q})'+\frac{q(p-1)}{p}|S_{p,q}|^{q-2}S_{p,q}=0最後，我們還證明了pi_{p,q}與S_{p,q}( i_{p,q}t),\forall t\in[0,1]的函數值隨著p,q增加而遞減。
 In this thesis, we firstly discuss the monotonicity of S_{p}(x) and pi_{p} in p. Here S_{p} is the inverse function of the integralx=\int^{S_{p}(x)}_{0}(1-|t|^{p})^{-\frac{1}{p}}dt, p>1 and pi_{p}=2\int^{1}_{0}(1-t^{p})^{-\frac{1}{p}}dt. We revise the mistake that Binding made ,and prove the function S_{p} and pi_{p} decrease in p.In the second part, we extend the definitions of S_{p} and pi_{p} to S_{p,q} and pi_{p,q}, and discuss the relative differential equations and the monotonicity in p and q. Here S_{p,q} is the inverse function of the integral x=\int^{S_{p,q}(x)}_{0}(1-|t|^{q})^{-\frac{1}{p}}dt ,p,q>1and pi_{p,q}=2\int^{1}_{0}(1-t^{q})^{-\frac{1}{p}}dt. We find that S_{p,q}, S_{p} and sin(x) have similar property, and prove the following equivalent conditions\begin{enumerate} (a)\forall x\in[-\frac{ i_{p,q}}{2},\frac{ i_{p,q}}{2}] x=\int^{S_{p,q}(x)}_{0}(1-|t|^{q})^{-\frac{1}{p}}dt.\forall x \in \mathbb{R} S_{p,q}(x+k i_{p,q})=(-1)^{k}S_{p,q}(x).(b)S_{p,q}(0)=0,S'_{p,q}(0)=1|S_{p,q}|^{q}+|S'_{p,q}|^{p}=1(c)S_{p,q}(0)=0,S'_{p,q}(0)=1 (|S'_{p,q}|^{p-2}S'_{p,q})'+\frac{q(p-1)}{p}|S_{p,q}|^{q-2}S_{p,q}=0Finally, we also prove that pi_{p,q} and S_{p,q}( i_{p,q}t),\forall t\in[0,1] are decreasing in p,q.
 1 Introduction......................... 12 pi_{p}和S_{p}的單調性..................72.1 pi_{p}單調性.........................82.2 S_{p}單調性......................... 93 Proof of Theorem 1.2 .................124 pi_{p,q}與 S_{p,q} 的性質..............164.1 pi_{p,q}的極值...................... 174.2 pi_{p,q}對p,q的單調性................204.3 S_{p}對p,q的單調性...................21
 [1] P. Binding, L. Boulton, J. Čepička, P. Drábek and P. Girg, Basic properties of eigenfunctions of the p Laplacian, Proceedings of The American Mathematical Society (2006), Vol. 134, No. 12, 3487 3494.[2] C. Bennewitz and Y. Saitō, An embedding norm and the Lindqvist trigonometric functions, Electronic Journal of Differential Equations (2002), No. 86, 1-6.[3] B. A. Bhayo and M. Vuorinen, On generalized trigonometric functions with two parameters, Journal of Approximation Theory (2012), Vol. 164, Issue 10, 1415-1426[4] P. Drábek and R. Manásevich, On the closed solution to some p-Laplacian nonhomogeneous eigenvalue problems, Differential Integral Equations 12 (1999), no. 6, 773-788.[5] A. Elbert, A half-linear second order differential equation, Colloqia Mathematica Societatis Jonos Bolyai, 30 Qualitative Theory of Differential Equations, Szeged (Hungary) (1979), 153 180.[6] J. Stewart, “Calculus : concepts and contexts”(2003), Belmont, CA : Brooks/Cole, Cengage Learning, pp.477 483.[7] D. Wei, Y. Liu and M.B. Elgindi, Some generalized trigonometric sine functions and their applications, Applied Mathematical Sciences (2012), Vol. 6, No. 122,6053-6068.[8] R. L. Wheeden and A. Zygmund,“Measure and integral, an introduction to real analysis, second edition”, Marcel Dekker, (1977).[9] 陳惠瑜。廣義三角函數的研究 (2009)。國立中山大學應用數學系研究所碩士論文。[10] 楊喻文。廣義三角函數及雙曲函數的專題研究 (2013)。國立中山大學應用數學系研究所碩士論文。
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