臺灣博碩士論文加值系統

古代用立體幾何的方式來計算五種正多面體的幾何量，西元前300年歐幾里得幾何原本（Elements）第11~13卷有介紹立體幾何，在第13卷中特別研究正多面體的作圖，以及五種正多面體的存在性。17世紀解析幾何（Analytic geometry）出現之後，我們可以藉由向量空間、球面坐標系統、對稱性等工具，比古代更容易地可以得到五種正多邊形幾何量的結論。

Ancient mathematicians derive the geometry quantities of the five Platonic solids using the methods from the so-called "solid geometry". In 300 B.C., Euclid introduced solid geometry in book XI to XIII of his work, Elements. The compass-and-straightedge constructions of the Platonic solids were investigated in book XIII, as well as the existence of the five solids. On the other hand, in seventeenth century, these geometry quantities can be more easily computed using tools in analytic geometry, for example vector space, polar coordinate, symmetry, etc.

第一章　球面幾何……………………………………………………………………1
　　1.1球面幾何學的起源…………………………………………………………1
　　1.2何謂球面幾何學……………………………………………………………1
　　1.3球面幾何學先備知識………………………………………………………2
第二章　單位球面上的正弦定理、餘弦定理和對偶餘弦定理（A.A.A定理）……3
2.1單位球面上的幾何…………………………………………………………3
　　2.2單位球面上的正弦定理…………………………………………………….3
2.3單位球面上的（邊）餘弦定理……………………………….……………5
2.4球面上的對偶（角）餘弦定理（A.A.A定理）………………………….6
2.5球面三角和平面三角的比較………………………………………………8
第三章　球面三角形的面積公式………………………………….………………9
3.1單位球面三角形的面積公式…………………..…………..………………9
3.2證明單位球面三角形ABC的面積公式…………….……………………11
第四章　正多面體的球面構造或非球面構造……………………………………12
　　4.1正多面體定義………………………………………………………………12
4.2正多面體與球面的關係……………………………………………………13
第五章　正多面體的幾何量………………………………………………………14
5.1尤拉公式……………………………………………………………………14
5.2正多面體長度及兩面角的幾何量…………………………………………15
第六章 在球面上建構正二十面體…………………………..……………………16
第七章 由單位球面正二十面體的幾何量，來計算正二十面體的幾何量。再由共軛關係計算正十二面體的幾何量………………………………………18
第八章 由單位球面正八面體的幾何量，來計算正八面體的幾何量。再由共軛關係計算正六面體的幾何量………………………………………………23
第九章 計算正四面體的幾何量…………………………………………………27
第十章 由球面幾何所得到的五種正多面體的幾何量…………………………30

參考文獻…………………………………………………………………………31

圖目錄
圖1.3.1 三垂線定理……………………………………………………….……2
圖2.1 球面三角形XYZ…………………………………………………………3
圖2.2.1 球面三角形ABC………………………………………………………3
圖2.2.2 三角錐O-ABC………………………………………..…………..……4
圖2.3.1 球面三角形ABC………………………………………………………5
圖2.3.2 單位球面三角形ABC……………………………….…………………5
圖2.4.1 球面三角形ABC………………………………………………………6
圖2.4.2 球面三角形及其夾角…………………………………………………7
圖3.1.1 球面三角形ABC………………………………..…….………………9
圖3.1.2 球面三角形四分之一球面……………………….……………………9
圖3.1.3 八分之一球面三角形……………………………..…………………10
圖3.1.4 外三角形面積……………………………………………….………10
圖 3.1.5 月形…………………………………………………………..………10
圖3.2 三個月形區域的聯集…………………………….……………………11
圖 6.1 球面正三角形…………………………..……………….……………16
圖 6.2 五個球面三角形………………………………...……………………16
圖 6.3十個球面三角形………………………………………………………16
圖 6.4 十五個球面三角形………………………………..…………………17
圖 6.5 二十個球面三角形……………………………….…………………17
圖 7.1 球面正三角形ABC………………………………………18
圖 7.2 平面三角形OAC…………………………………………18
圖 7.3 坐標化…………………………………..…………………19
圖 7.4 兩相鄰球面三角形………………….……………………20
圖 7.5 共軛關係…………………………….….…………………21
圖 7.6 正十二面體兩面角…………………….…………………22
圖 8.1 平面三角形OAC…………………….……………………23
圖 8.2 坐標化……………………………………...………………23
圖 8.3兩相鄰球面三角形……………………….…………………24
圖8.4 共軛關係…………………………………………….………25
圖 8.5 正六面體兩面角………………………….…………………26
圖 9.1 平面三角形OAC……………………………………………27
圖 9.2 坐標化…………………………………………….…………27
圖 9.3 兩相鄰球面三角形…………………..………………………28
圖 附.1三角錐O-ABC………………………………………………32
圖 附.2 三角錐O-AMN………………………….…………………33
圖 附.3 極三角形………………………………...…………………34
圖 附.4 足球表面構造………………………….……..……………37

張海潮（2004）球面三角形的AAA定理。數學傳播，28（1），34-37。
張海潮（2009）。在球面上鋪二十個球面正三角形。數學傳播，33（3），72-73。
張海潮（2011）。以積分計算球面三角形的面積。數學傳播，35（1），51-53。
張海潮（2014）。重返球面三角形面積公式。取自http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/Resources/Ctrl/ePaper/ePaperFromPublished.ashx?id=44b79d9c-d652-40cd-b6d1-240d44ad695a。
張海潮（2015）。法線定理與三垂線定理。取自http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/Resources/Ctrl/ePaper/eArticleDetail.aspx?id=d7fc55cd-5b54-4b44-a63d-4ee9609e5ca2。