臺灣博碩士論文加值系統

本文主要針對民國 89 至 106 學年度臺灣大學微積甲班一組試題為例之考古題進行
整理，以 LarsonandEdwards(2017) 為架構，主要分為十二個主題：極限及其性質、
微分、微分的應用、積分、微分方程式、積分技巧、積分的應用、無窮級數、向量值函
數、多變數函數、多重積分、向量分析。十二個主題中，除了簡述歷屆考題出現的名詞
定義外，也說明相關的定理與性質，同時整理出常見的觀念與題型，並且附上例子說
明。最後，於每一章節的最後一節附上歷年的分類試題以供讀者精熟與練習。

This study investigates all problems of the Calculus A1 Exams of unified teaching of calculus at National Taiwan University from 2000 to 2017.
These problems according to LarsonandEdwards(2017) are classified as twelve topics including:
Limits, Differentiation, Applications of Differentiation, Integration, Differential Equations, Integration Techniques, Applications of Integration, Infinite Series, Vector-Valued Function, Functions of Several Variables, Multiple Integration and Vector Analysis.
Each topics begins with the important definitions, theorems and properties for problem solving, followed by several related examples chosen to illustrate the
applications of theorems and properties. All the classified exam problems are included in the last section of each topic for further study and practice.

論文審定書 i
誌謝 ii
摘要 iii
Abstract iv
圖次 xv
表次 xvi
第一章 前言 1
第二章 極限及其性質 5
2.1 極限的基本性質 . .............................6
2.1.1 極限的定義 . ............................6
2.1.2 單側極限 . .............................7
2.1.3 極限不存在的情形 . ........................10
2.2 以解析的方法處理極限 . ..........................11
2.2.1 極限的性質 . ............................11
2.2.2 求極限的策略 . ..........................13
2.2.3 約分 . ...............................14
2.2.4 有理化 . ..............................14
2.2.5 夾擠定理 . .............................16
2.2.6 特殊的三角函數極限 . .......................17
2.2.7 羅畢達規則 . ............................18
2.2.8 黎曼和與定積分 . .........................20
2.3 連續 . ...................................21
2.3.1 在一點和在一開區間上的連續性 . .................21
2.3.2 閉區間的連續性 . .........................23
2.3.3 連續的性質 . ............................24
2.3.4 中間值定理 . ............................24
2.4 無窮極限 . .................................25
2.4.1 無窮極限 . .............................25
2.4.2 在無窮遠處的極限 . ........................26
2.4.3 在無窮遠處的無窮大極限. .....................29
第三章 微分 31
3.1 導數和切線 . ................................32
3.1.1 切線問題 . .............................32
3.1.2 函數的導函數 . ..........................34
3.1.3 可微與連續 . ............................37
3.2 基本微分規則 . ...............................39
3.2.1 常數規則 . .............................39
3.2.2 指數規則 . .............................40
3.2.3 倍數規則 . .............................40
3.2.4 和差規則 . .............................41
3.2.5 正弦和餘弦函數的導函數. .....................41
3.3 積和商的規則及高階導數 . .........................42
3.3.1 積的規則 . .............................42
3.3.2 商的規則 . .............................43
3.3.3 三角函數的導函數 . ........................43
3.3.4 高階導數 . .............................43
3.4 連鎖規則 . .................................45
3.4.1 連鎖規則 . .............................45
3.4.2 廣義指數規則 . ..........................46
3.4.3 三角函數的連鎖規則 . .......................46
3.5 超越函數的導函數 . ............................47
3.5.1 自然指數函數的導函數 . ......................47
3.5.2 自然對數函數的導函數 . ......................48
3.6 反函數的導函數 . .............................49
3.6.1 反函數的導函數 . .........................49
3.6.2 反三角函數的導函數 . .......................51
3.7 微積分基本定理 . .............................52
3.7.1 微積分第二基本定理 . .......................52
3.8 隱微分法 . .................................53
3.8.1 隱函數和顯函數 . .........................53
3.8.2 隱微分法 . .............................53
3.9 相關變率 . .................................55
3.9.1 求相關變率 . ............................55
3.9.2 以相關變率解題 . .........................55
第四章 微分的應用 57
4.1 區間上的極值 . ...............................58
4.1.1 函數的極值 . ............................58
4.1.2 相對極值和臨界數 . ........................58
4.1.3 在閉區間上求極值 . ........................59
4.2 洛爾定理和均值定理 . ...........................60
4.2.1 洛爾定理 . .............................60
4.2.2 均值定理 . .............................61
4.3 函數的遞增、遞減和一階導數檢定 . ....................63
4.3.1 遞增函數和遞減函數 . .......................63
4.3.2 一階導數檢定 . ..........................64
4.4 凹性和二階導數檢定 . ...........................66
4.4.1 凹性 . ...............................66
4.4.2 反曲點 . ..............................67
4.4.3 二階導數檢定 . ..........................67
4.5 漸近線 . ..................................69
4.5.1 垂直漸近線 . ............................69
4.5.2 水平漸近線 . ............................70
4.5.3 斜漸近線 . .............................71
4.6 畫圖提要 . .................................73
4.6.1 分析函數圖形 . ..........................73
4.7 最佳化問題 . ................................80
4.7.1 極大極小的應用問題 . .......................80
4.8 微分 . ...................................83
4.8.1 切線近似 . .............................83
第五章 積分 85
5.1 反導函數和不定積分 . ...........................86
5.1.1 反導函數 . .............................86
5.1.2 反導函數的記號 . .........................87
5.1.3 基本積分規則 . ..........................87
5.2 面積 . ...................................88
5.2.1符號 . .............................88
5.3 黎曼和與定積分 . .............................89
5.3.1 上和與下和 . ............................89
5.3.2 黎曼和 . ..............................90
5.3.3 定積分 . ..............................91
5.3.4 定積分的性質 . ..........................94
5.4 微積分基本定理 . .............................95
5.4.1 微積分基本定理 . .........................95
5.4.2 積分的均值定理 . .........................96
5.4.3 函數的平均值 . ..........................97
5.4.4 微積分第二基本定理 . .......................97
5.4.5 偶函數和奇函數的積分 . ......................99
5.5 數值積分 . .................................99
5.5.1 梯形法 . ..............................99
5.5.2 辛普森法 . .............................100
5.6 自然對數函數：積分 . ...........................101
5.6.1 積分的對數規則 . .........................101
5.6.2 三角函數的積分 . .........................102
5.6.3 指數函數的積分 . .........................103
5.6.4 反三角函數 . ............................103
5.6.5 反三角函數的導函數 . .......................104
5.6.6 複習基本微分規則 . ........................105
5.7 反三角函數：積分 . ............................105
5.7.1 涉及以反三角函數為反微分的積分 . ................105
5.7.2 複習基本積分規則 . ........................106
5.7.3 雙曲函數 . .............................107
5.7.4 雙曲函數的微分和積分 . ......................107
5.7.5 反雙曲函數 . ............................108
5.7.6 反雙曲函數的微分和積分. .....................109
第六章 微分方程式 110
6.1 分離變數 . .................................110
6.2 一階線性微分方程式 . ...........................112
第七章 積分技巧 115
7.1 基本積分法則 . ...............................116
7.1.1 整理被積分函數以適用基本規則 . .................116
7.2 變數代換法求不定積分 . ..........................117
7.2.1 變數代換 . .............................117
7.3 分部積分法 . ................................118
7.3.1 分部積分法 . ............................118
7.4 三角函數的積分 . .............................120
7.4.1 含正、餘弦冪次的積分 . ......................120
7.4.2 含正割、正切冪次的積分. .....................123
7.4.3 涉及不同角度的正餘弦乘積的積分 . ................126
7.5 三角代換法 . ................................126
7.5.1 三角代換法 . ............................126
7.6 部分分式 . .................................131
7.6.1 部分分式 . .............................131
7.6.2 正、餘弦合成的有理函數. .....................136
7.7 不定型和羅畢達規則 . ...........................136
7.7.1 不定型 . ..............................136
7.7.2 羅畢達規則 . ............................137
7.8 瑕積分 . ..................................140
7.8.1 上（下）限是無窮大的瑕積分 . ..................140
7.8.2 函數有無窮大極限的瑕積分 . ...................140
第八章 積分的應用 144
8.1 兩曲線之間區域的面積 . ..........................145
8.1.1 兩曲線之間區域的面積 . ......................145
8.2 旋轉體體積 . ................................150
8.2.1 圓盤法 . ..............................150
8.2.2 圓柱殼法 . .............................153
8.2.3 已知橫截面的立體體積 . ......................153
8.2.4 圓盤法和圓柱殼法的比較. .....................155
8.3 弧長和旋轉面 . ...............................159
8.3.1 弧長 . ...............................159
8.3.2 旋轉面的面積 . ..........................160
8.4 質矩、質心和形心 . ............................162
8.4.1 質量 . ...............................163
8.4.2 一維系統的質心 . .........................163
8.4.3 二維系統的質心 . .........................163
8.4.4 薄膜的質心 . ............................165
8.4.5 帕普斯定理 . ............................167
第九章 無窮級數 169
9.1 數列 . ...................................170
9.1.1 數列 . ...............................170
9.1.2 數列的極限 . ............................170
9.1.3 察覺數列的規律 . .........................172
9.1.4 單調數列和有界數列 . .......................173
9.2 級數和收斂 . ................................175
9.2.1 無窮級數 . .............................175
9.2.2 幾何級數 . .............................177
9.2.3 利用一般項檢驗發散 . .......................178
9.3 積分檢定和 p 級數 . ............................178
9.3.1 積分檢定 . .............................178
9.3.2 p-級數與調和級數 . ........................179
9.4 級數的比較 . ................................181
9.4.1(直接)互比檢定 . .........................181
9.4.2 極限互比檢定 . ..........................182
9.5 交錯級數 . .................................184
9.5.1 交錯級數 . .............................184
9.5.2 交錯級數的餘項 . .........................185
9.5.3 絕對和條件收斂 . .........................186
9.6 比例與根式檢定 . .............................188
9.6.1 比例檢定 . .............................188
9.6.2 根式檢定 . .............................189
9.7 泰勒多項式和近似值 . ...........................190
9.7.1 基本函數的多項式近似 . ......................190
9.7.2 泰勒和馬克勞林多項式 . ......................190
9.7.3 泰勒多項式的餘項 . ........................191
9.8 冪級數 . ..................................192
9.8.1 冪級數 . ..............................192
9.8.2 收斂半徑和收斂區間 . .......................192
9.8.3 在端點的歛散性 . .........................192
9.8.4 冪級數的微分和積分 . .......................193
9.9 以冪級數表示函數 . ............................195
9.9.1 幾何冪級數 . ............................195
9.9.2 冪級數的運算 . ..........................195
9.10 泰勒和馬克勞林級數 . ...........................196
9.10.1 泰勒和馬克勞林級數 . .......................196
9.10.2 二項級數 . .............................198
9.10.3 基本泰勒級數表 . .........................199
第十章 向量值函數 201
10.1 參數方程式和微積分 . ...........................202
10.1.1 斜率和切線 . ............................202
10.1.2 弧長 . ...............................203
10.1.3 旋轉體表面積 . ..........................203
10.2 極座標與極座標圖 . ............................203
10.2.1 極座標 . ..............................203
10.2.2 座標轉換 . .............................204
10.2.3 斜率和切線 . ............................204
10.3 極座標的面積和弧長 . ...........................206
10.3.1 極座標區域的面積 . ........................206
10.3.2 極座標的弧長形式 . ........................207
10.3.3 旋轉曲面的面積 . .........................207
10.4 空間中的曲面 . ...............................208
10.4.1 柱面 . ...............................208
10.4.2 二次曲面 . .............................209
10.4.3 旋轉面 . ..............................209
10.5 柱座標和球座標 . .............................209
10.5.1 柱座標 . ..............................209
10.5.2 球座標 . ..............................210
10.6 向量值函數 . ................................210
10.6.1 空間曲線和向量值函數 . ......................210
10.6.2 極限與連續 . ............................211
10.7 向量值函數的微分和積分 . .........................211
10.7.1 向量值函數的積分 . ........................213
10.8 速度和加速度 . ...............................213
10.8.1 速度和加速度 . ..........................213
10.8.2 拋體運動 . .............................214
10.9 切線向量和法向量 . ............................214
10.9.1 切線向量和法向量 . ........................214
10.9.2 加速的切線向量和法向量. .....................215
10.10弧長及弧度 . ................................215
10.10.1弧長 . ...............................215
10.10.2弧長的參數 . ............................216
10.10.3曲率 . ...............................217
10.10.4應用 . ...............................219
第十一章多變數函數 221
11.1 多變數函數導論 . .............................222
11.1.1 多變數函數 . ............................222
11.1.2 兩變數函數的圖形 . ........................223
11.1.3 等高線 . ..............................223
11.1.4 等位面 . ..............................223
11.2 極限與連續 . ................................223
11.2.1 兩變數函數的極限 . ........................223
11.2.2 兩變數函數的連續性 . .......................225
11.2.3 三變數函數的連續性 . .......................227
11.3 偏導函數 . .................................227
11.3.1 兩變數函數的偏導函數 . ......................227
11.3.2 三個或三個以上變數函數的偏導函數 . ...............229
11.3.3 高階偏導函數 . ..........................229
11.4 微分 . ...................................231
11.4.1 增量與微分 . ............................231
11.4.2 可微分性 . .............................231
11.4.3 以微分求近似值 . .........................232
11.5 多變數函數的連鎖律 . ...........................232
11.5.1 多變數函數的連鎖律 . .......................232
11.5.2 隱(偏)微分 . ............................235
11.6 方向導數和梯度向量 . ...........................235
11.6.1 方向導數 . .............................235
11.6.2 兩變數函數的梯度向量 . ......................237
11.6.3 梯度向量的應用 . .........................238
11.6.4 三個變數的函數 . .........................241
11.7 切平面和法線 . ...............................241
11.7.1 曲面的切平面和法線 . .......................242
11.7.2 平面傾斜的角度 . .........................243
11.7.3 梯度向量 ∇f(x,y) 和 ∇F(x,y,z) 的比較 . ...........244
11.8 兩變數函數的極值 . ............................244
11.8.1 絕對和相對極值 . .........................244
11.8.2 二階偏導數檢定 . .........................245
11.9 兩變數函數極值的應用 . ..........................249
11.9.1 最佳化問題的應用 . ........................249
11.9.2 最小平方法 . ............................249
11.10拉格朗日乘子法 . .............................249
11.10.1拉格朗日乘子法 . .........................249
11.10.2雙重限制條件下的拉格朗日乘子法 . ................254
第十二章多重積分 256
12.1 逐次積分和平面上的面積 . .........................257
12.1.1 逐次積分 . .............................257
12.1.2 平面上區域的面積 . ........................257
12.2 二重積分和體積 . .............................258
12.2.1 二重積分和立體的體積 . ......................258
12.2.2 二重積分的性質 . .........................259
12.2.3 計算二重積分 . ..........................259
12.2.4 函數的平均值 . ..........................261
12.3 積分變數代換：極座標 . ..........................261
12.3.1 在極座標系中計算二重積分 . ...................261
12.4 質心和慣性矩 . ...............................263
12.4.1 質量 . ...............................263
12.4.2 質矩和質心 . ............................264
12.4.3 慣性矩 . ..............................267
12.5 曲面面積 . .................................267
12.5.1 曲面面積 . .............................268
12.6 三重積分與應用 . .............................270
12.6.1 三重積分 . .............................270
12.7 圓柱和球面坐標的三重積分 . .......................275
12.7.1 圓柱坐標的三重積分 . .......................275
12.7.2 球面座標的三重積分 . .......................277
12.7.3 質心和慣性矩 . ..........................280
12.8 變數代換：雅可比 . ............................281
12.8.1 雅可比 . ..............................281
12.8.2 二重積分的變數代換 . .......................282
第十三章向量分析 288
13.1 向量場 . ..................................289
13.1.1 向量場 . ..............................289
13.1.2 保守向量場 . ............................289
13.1.3 向量場上的旋度 . .........................290
13.1.4 向量場上的散度 . .........................291
13.2 線積分 . ..................................293
13.2.1 線積分 . ..............................294
13.2.2 向量場上的線積分 . ........................294
13.3 保守向量場與路徑獨立 . ..........................297
13.3.1 線積分基本定理 . .........................297
13.3.2 和路徑無關 . ............................297
13.4 格林定理 . .................................301
13.4.1 格林定理 . .............................301
13.4.2 格林定理其他形式 . ........................301
13.5 參數曲面 . .................................304
13.5.1 參數曲面 . .............................304
13.5.2 曲面的參數方程式 . ........................304
13.5.3 法向量和切向量 . .........................304
13.5.4 參數曲面面積 . ..........................305
13.6 曲面積分 . .................................310
13.6.1 曲面積分 . .............................310
13.6.2 參數曲面和曲面積分 . .......................310
13.6.3 通量積分 . .............................311
13.7 散度定理 . .................................314
13.7.1 散度定理 . .............................314
13.8 斯托克斯定理 . ...............................318
13.8.1 斯托克斯定理 . ..........................319
參考文獻 323
索引 325

Hohenwarter, M., Borcherds, M., Ancsin, G., Bencze, B., Blossier, M., Delobelle,
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何靜怡 (2017)。微積分統一教學題庫之研究：以台灣大學微積分(上)期中試題為例。台
灣高雄市國立中山大學碩士論文。
黃傳鈞 (2017)。微積分統一教學題庫之研究：以台灣大學微積分(上)期末試題為例。台
灣高雄市國立中山大學碩士論文。
黃玉玲 (2017)。微積分統一教學題庫之研究：以台灣大學微積分(下)期中試題為例。台
灣高雄市國立中山大學碩士論文