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研究生:黃振瑋
研究生(外文):Chen-WeiHuang
論文名稱:用邊界元素法解決弦振動的非線性邊界值問題
論文名稱(外文):Boundary Element Method For Solving Nonlinear Boundary Value Of String Vibration Problem
指導教授:沈士育沈士育引用關係
指導教授(外文):Shih-Yu Shen
學位類別:碩士
校院名稱:國立成功大學
系所名稱:數學系應用數學碩博士班
學門:數學及統計學門
學類:數學學類
論文種類:學術論文
論文出版年:2020
畢業學年度:108
語文別:中文
論文頁數:100
中文關鍵詞:弦振動邊界元素法積分方程傅立葉級數波方程
外文關鍵詞:String VibrationBoundary Element MethodIntegral EquationFourier SeriesWave Equation
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從以前到現在的弦樂器原則上都是利用弦的搖動來振動面板發出聲音,此論文主要是想模擬出一個現實中弦振動的模型,一邊綁死而另一邊放上一個假想的彈簧讓弦在上面輕輕的晃動,像這樣子條件下的邊界條件是沒有辦法利用一般的數學公式或其他方法來算出其波方程的解,所以我們就以波方程與傅立葉級數為基礎,用邊界元素法的數值方法來模擬現實情況下弦樂器振動發出聲響的情況。經由電腦程式所輸出的音檔,我們藉由改變整個模型的數據例如波速、彈性係數、初始條件以及空氣阻力係數等等,分別和兩邊固定的模型做比較,並聆聽有沒有和單弦的發聲類似,弄出來的聲音經過多次的聆聽跟調整,除了音色以外我們能夠做出跟真實情況更接近的頻率音高。在本論文中,為了使整體模型更接近真實情況,也就是音量會逐漸的消散,因此在弦模型中加入了空氣阻力因素,讓弦振動的振幅會逐漸的降低,在輸出的音檔中能聽見音量明顯的改變。最後由於聲音的特色,在聽起來相同音高上其實真實的弦樂器會有不同的泛音,這是電腦機器難以模仿的,希望之後能夠找到能讓音色更接近真實樂器的方法。
String instruments mainly produce sound through the vibration of the string and the panel.
This paper mainly wants to simulate a model composed of strings. Tighten one side and use an imaginary spring to vibrate the strings slightly on the other side, and then add air resistance so that the energy of the entire model will slowly dissipate. Non-linear boundary conditions cannot be solved by analytical methods to obtain the wave equation, so we use the boundary element method based on the wave equation and the Fourier series to simulate the vibration of the real string instrument panel. It is hoped that through the boundary element method and its own mathematical ability, a set of models that can
emit almost the same tone and behavior as the real stringed instrument can be created.
目錄
摘要---------------------------------------------------I
英文摘要-----------------------------------------------II
誌謝---------------------------------------------------V
目錄---------------------------------------------------VIII
圖目錄-------------------------------------------------X
第一章 弦樂器和弦波-------------------------------------1
1-1 弦樂器構造介紹--------------------------------------1
1-2 樂音與基頻、泛音------------------------------------7
1-3 弦樂器發聲原理--------------------------------------12
1-4 波動的理論-----------------------------------------16
1-5 其它章節重點---------------------------------------22
第二章 一維波方程和基本解-------------------------------24
2-1 弦波----------------------------------------------24
2-2 Fourier Series Solution for Wave Equation---------26
2-3 一維波方程的積分表現式與邊界積分方程----------------36
第三章 邊界元素法--------------------------------------50
3-1 邊界元素法-----------------------------------------50
3-2 檢驗數值例-----------------------------------------56
3-3 數值解模擬邊界會移動的弦----------------------------70
第四章 非線性的數值解分析-------------------------------76
4-1 只受彈簧作用的弦振動--------------------------------76
4-2 更接近真實情況的弦振動------------------------------85
第五章 弦樂音的模擬與結果-------------------------------92
5-1 不同條件下的弦樂音----------------------------------92
5-2 不同初始情況的模擬----------------------------------95
5-3 結論及檢討-----------------------------------------98
參考資料-----------------------------------------------100
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[4] 王慧穎,利用邊界元素法模擬弦樂器,國立成功大學應用數學研究所碩士論文,2020
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